Due disuguaglianze che non riesco a dimostrare
ciao a tutti,
non riesco a dimostrare due semplici disuguaglianze sui numeri in $R^N$ e le loro componenti.
per ogni $x \in R^N$, vale che:
1- la somma dei moduli delle componenti di $x$ è minore uguale della radice della [strike]cardinalità[/strike] dimensione dell'insieme in cui vive $x$ per il suo modulo
$\sum_i^N |x_i| \le \sqrt{N} |x|$
2- il modulo di $x$ è minore della radice di $N$ per la sua componente più grande in modulo
$|x| \le \sqrt{N} max{|x_i|}$
non riesco metter giù neanche una riga di ragionamento. ho pensato alla deviazione standard, a riscrivere i moduli come radice della somma dei componenti al quadrato, ma niente... non trovo l'illuminazione.
qualcuno può darmi qualche suggerimento? ._.
grazie in anticipo per le risposte.
non riesco a dimostrare due semplici disuguaglianze sui numeri in $R^N$ e le loro componenti.
per ogni $x \in R^N$, vale che:
1- la somma dei moduli delle componenti di $x$ è minore uguale della radice della [strike]cardinalità[/strike] dimensione dell'insieme in cui vive $x$ per il suo modulo
$\sum_i^N |x_i| \le \sqrt{N} |x|$
2- il modulo di $x$ è minore della radice di $N$ per la sua componente più grande in modulo
$|x| \le \sqrt{N} max{|x_i|}$
non riesco metter giù neanche una riga di ragionamento. ho pensato alla deviazione standard, a riscrivere i moduli come radice della somma dei componenti al quadrato, ma niente... non trovo l'illuminazione.
qualcuno può darmi qualche suggerimento? ._.
grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
Per la 1), i nomi di Cauchy e Schwarz ti dicono nulla? In alternativa, per farti un'idea puramente "geometrica" mettiti nel caso $N=2$ e fatti un disegnino: in un triangolo rettangolo, l'ipotenusa è il lato... Da qui, concludere è abbastanza immediato.
Ah, un'osservazione: $N$ non è la cardinalità di $RR^N$, bensì è la sua dimensione. Attenzione, sono concetti profondamente diversi ed è bene non confonderli.
Per la 2), invece, ti basta ricordare che la radice è monotona (strettamente) crescente, quindi maggiorando opportunamente il radicando...
Ah, un'osservazione: $N$ non è la cardinalità di $RR^N$, bensì è la sua dimensione. Attenzione, sono concetti profondamente diversi ed è bene non confonderli.
Per la 2), invece, ti basta ricordare che la radice è monotona (strettamente) crescente, quindi maggiorando opportunamente il radicando...
si, chiedo scusa. correggo "cardinalità".
1- "cauchy-schwartz" mi ricorda la disuguaglianza tra il modulo di un prodotto scalare ed il prodotto dei moduli dei moltiplicandi, ma non riesco a vedere un nesso con questa disuguaglianza. nè ho capito bene il legame tra questa e i lati di un triangolo rettangolo...
2- non ho colto il suggerimento
1- "cauchy-schwartz" mi ricorda la disuguaglianza tra il modulo di un prodotto scalare ed il prodotto dei moduli dei moltiplicandi, ma non riesco a vedere un nesso con questa disuguaglianza. nè ho capito bene il legame tra questa e i lati di un triangolo rettangolo...
2- non ho colto il suggerimento
Ok, sono stato troppo stringato, sorry. 
1 - Sì, proprio quella è la disuguaglianza. Allora, fai una cosa: prendi il vettore $v=(1,2) \in \RR^2$ e considera la base canonica $(e_1, e_2)$. Mi fai vedere come applichi CS a $v, e_1$ e $v, e_2$?
Come certamente saprai, il prodotto scalare $a * b$ "misura" (in un senso opportuno) la lunghezza della proiezione di un vettore $a$ su $b$. Quindi, quando fai $v*e_1$ stai misurando la proiezione di $v$ su $e_1$, in sostanza guardi la componente $x$ di $v$. Analogamente, quando fai $v*e_2$ stai misurando la proiezione di $v$ su $e_2$, e cioè la componente $y$ di $v$.
Ora prendi un pezzo di carta, disegna il piano cartesiano e il vettore $v$ e interpreta i risultati ottenuti.
2 - $sqrt{2+3} \le \sqrt{3+3}$ perché $2+3 \le 3+3$. Analogamente $\sqrt{x_1+x_2} \le \sqrt{2\max_{i=1,2} x_i}$ quindi...
Più chiaro ora?
1 - Sì, proprio quella è la disuguaglianza. Allora, fai una cosa: prendi il vettore $v=(1,2) \in \RR^2$ e considera la base canonica $(e_1, e_2)$. Mi fai vedere come applichi CS a $v, e_1$ e $v, e_2$?
Come certamente saprai, il prodotto scalare $a * b$ "misura" (in un senso opportuno) la lunghezza della proiezione di un vettore $a$ su $b$. Quindi, quando fai $v*e_1$ stai misurando la proiezione di $v$ su $e_1$, in sostanza guardi la componente $x$ di $v$. Analogamente, quando fai $v*e_2$ stai misurando la proiezione di $v$ su $e_2$, e cioè la componente $y$ di $v$.
Ora prendi un pezzo di carta, disegna il piano cartesiano e il vettore $v$ e interpreta i risultati ottenuti.
2 - $sqrt{2+3} \le \sqrt{3+3}$ perché $2+3 \le 3+3$. Analogamente $\sqrt{x_1+x_2} \le \sqrt{2\max_{i=1,2} x_i}$ quindi...
Più chiaro ora?
"Paolo90":
... Analogamente $\sqrt{x_1+x_2} \le \sqrt{\max_{i=1,2} x_i}$ quindi...
Manca un 2 sotto la radice a destra o sbaglio?
@ Lemniscata: hai assolutamente ragione, perdonate la svista. Ho corretto. Grazie!
Scusami, ogni volta ti rompo le scatole, sembra che ce l'ho con te XD
1- allora, ecco come la applico io quella disuguaglianza:
con $e1$, $|(1,2)(1,0)^t| = \sqrt{1^2 + (2*0)^2} = 1 \le |(1,2)| * |(1,0)| = \sqrt{1+4} * 1 = \sqrt{5}$
con $e2$, $|(1,2)(0,1)^t| = \sqrt{0 + 2^2} = 2 \le |(1,2)| * |(0,1)| = \sqrt{1+4} * 1 = \sqrt{5}$
e l'interpretazione:
con $e1$, la proiezione di $v$ sulle ascisse ha modulo minore del modulo di $v$ per il modulo del versore $e_1$
con $e2$, la proiezione di $v$ sulle ordinate ha modulo minore del modulo di $v$ per il modulo del versore $e_2$
ma non vedo ancora la luce ._.
2- [strike]no, è ancora meno chiaro... anche perchè l'ultima tua equazione, usando i numerini, si traduce in $\sqrt{2+3} \le \sqrt{3}$ che è errato. manca anche qualsiasi elemento che faccia intendere che dovrebbe apparire un $\sqrt{N}$.[/strike]
ok è tutto chiaro. sono uno stupido perchè, per qualche ragione malsana, non ho fatto questo passaggio da solo:
$\sqrt{N max{x_i^2}} = \sqrt{N} max{\sqrt{x_i^2}}$
.-.
altrimenti non avrei parlato di questa disequazione qui...
cavoli quanto vedo lontana la laurea -.-
con $e1$, $|(1,2)(1,0)^t| = \sqrt{1^2 + (2*0)^2} = 1 \le |(1,2)| * |(1,0)| = \sqrt{1+4} * 1 = \sqrt{5}$
con $e2$, $|(1,2)(0,1)^t| = \sqrt{0 + 2^2} = 2 \le |(1,2)| * |(0,1)| = \sqrt{1+4} * 1 = \sqrt{5}$
e l'interpretazione:
con $e1$, la proiezione di $v$ sulle ascisse ha modulo minore del modulo di $v$ per il modulo del versore $e_1$
con $e2$, la proiezione di $v$ sulle ordinate ha modulo minore del modulo di $v$ per il modulo del versore $e_2$
ma non vedo ancora la luce ._.
2- [strike]no, è ancora meno chiaro... anche perchè l'ultima tua equazione, usando i numerini, si traduce in $\sqrt{2+3} \le \sqrt{3}$ che è errato. manca anche qualsiasi elemento che faccia intendere che dovrebbe apparire un $\sqrt{N}$.[/strike]
ok è tutto chiaro. sono uno stupido perchè, per qualche ragione malsana, non ho fatto questo passaggio da solo:
$\sqrt{N max{x_i^2}} = \sqrt{N} max{\sqrt{x_i^2}}$
.-.
altrimenti non avrei parlato di questa disequazione qui...
cavoli quanto vedo lontana la laurea -.-
@ Lemniscata: ma no, non ti preoccupare! Anzi, ti ringrazio perché controlli sempre e mi correggi! Grazie mille!
@ Ziel: facciamo così (è una strada che mi è venuta in mente ora, ma dovrebbe funzionare). Prendi un vettore $x=(x_1, \ldots , x_n)$ e considera $\hat{x}=(|x_1|, \ldots , |x_n|)$. Sei d'accordo con me che la norma 2 di $x$ e $\hat{x}$ è la stessa?
Adesso considera il prodotto scalare $\hat{x}$ e il vettore $(1,1,\ldots , 1)$ e concludi applicando C-S.
@ Ziel: facciamo così (è una strada che mi è venuta in mente ora, ma dovrebbe funzionare). Prendi un vettore $x=(x_1, \ldots , x_n)$ e considera $\hat{x}=(|x_1|, \ldots , |x_n|)$. Sei d'accordo con me che la norma 2 di $x$ e $\hat{x}$ è la stessa?
Adesso considera il prodotto scalare $\hat{x}$ e il vettore $(1,1,\ldots , 1)$ e concludi applicando C-S.
risolto... ._.
perchè a me queste genialate non vengono mai in testa?
grazie per l'aiuto paolo
perchè a me queste genialate non vengono mai in testa?
grazie per l'aiuto paolo
Prego, figurati!
Per la 1 si può anche fare abbondantemente a meno di C-S, poiché invero basta usare il fatto (elementare) che \(\phi: [0,\infty[ t\mapsto \sqrt{t}\in [0,\infty[\) è concava.
Difatti, preso \(\mathbf{x}=(x_1,\ldots ,x_N)\in \mathbb{R}^N\), si ha:
\[
\sqrt{\sum_{n=1}^N \frac{1}{N}\ x_n^2} =\phi \left( \sum_{n=1}^N \frac{1}{N}\ x_n^2 \right) \geq \sum_{n=1}^N \frac{1}{N}\ \phi (x_n^2)=\frac{1}{N}\ \sum_{n=1}^N |x_n|
\]
da cui, con semplici passaggi algebrici, si ottiene l'asserto.
Difatti, preso \(\mathbf{x}=(x_1,\ldots ,x_N)\in \mathbb{R}^N\), si ha:
\[
\sqrt{\sum_{n=1}^N \frac{1}{N}\ x_n^2} =\phi \left( \sum_{n=1}^N \frac{1}{N}\ x_n^2 \right) \geq \sum_{n=1}^N \frac{1}{N}\ \phi (x_n^2)=\frac{1}{N}\ \sum_{n=1}^N |x_n|
\]
da cui, con semplici passaggi algebrici, si ottiene l'asserto.
Possiamo anche usare l'induzione.
Possiamo supporre \( x_n \geq 0\).
La 1) è vera per \( N=1\) supponiamola vera anche per \(N-1\) e scriviamo:
\( \left( \sum_{n=1}^N x_n\right)^2=\left(\sum_{n=1}^{N-1} x_n\right)^2+x_N^2+2x_N\sum_{n=1}^{N-1}x_n\leq (N-1)\sum_{n=1}^{N-1}x_n^2+x_N^2+2x_N\sum_{n=1}^N x_n\)
\( =N\sum_{n=1}^N x_n^2-(N-1)x_N^2-\sum_{n=1}^{N-1}x_n^2+2x_N\sum_{n=1}^{N-1}x_n=N\sum_{n=1}^N x_n^2-\sum_{n=1}^{N-1}(x_n-x_N)^2\leq N\sum_{n=1}^N x_n^2\)
da cui la disuguaglianza 1).
Possiamo supporre \( x_n \geq 0\).
La 1) è vera per \( N=1\) supponiamola vera anche per \(N-1\) e scriviamo:
\( \left( \sum_{n=1}^N x_n\right)^2=\left(\sum_{n=1}^{N-1} x_n\right)^2+x_N^2+2x_N\sum_{n=1}^{N-1}x_n\leq (N-1)\sum_{n=1}^{N-1}x_n^2+x_N^2+2x_N\sum_{n=1}^N x_n\)
\( =N\sum_{n=1}^N x_n^2-(N-1)x_N^2-\sum_{n=1}^{N-1}x_n^2+2x_N\sum_{n=1}^{N-1}x_n=N\sum_{n=1}^N x_n^2-\sum_{n=1}^{N-1}(x_n-x_N)^2\leq N\sum_{n=1}^N x_n^2\)
da cui la disuguaglianza 1).
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