Dubbio vettore tangente a una curva help
Ho un dubbio sulle curve.
Consideriamo il moto di due elementi: quindi due curve regolari parametrizzate in t,che hanno in tutti gli istanti vettori tangenti - leggi velocità -
con stessa direzione e verso, ma modulo differente; posso concludere che il supporto della curva - leggi traiettoria - sia la stessa
a meno di traslazioni? Io ho concluso che non è così, ma non riesco a trovare una giustificazione rigorosa.
Posso dire che essendo le velocità differenti i due elementi a istanti diversi occuperanno posizioni diverse, quindi la stessa velocità a meno del modulo
è riferita a due posizioni diverse dunque il supporto della curva ha la medesima tangente ma in due punti che non coincidono, calcolati al medesimo istante t.
E' corretto?grazie
Consideriamo il moto di due elementi: quindi due curve regolari parametrizzate in t,che hanno in tutti gli istanti vettori tangenti - leggi velocità -
con stessa direzione e verso, ma modulo differente; posso concludere che il supporto della curva - leggi traiettoria - sia la stessa
a meno di traslazioni? Io ho concluso che non è così, ma non riesco a trovare una giustificazione rigorosa.
Posso dire che essendo le velocità differenti i due elementi a istanti diversi occuperanno posizioni diverse, quindi la stessa velocità a meno del modulo
è riferita a due posizioni diverse dunque il supporto della curva ha la medesima tangente ma in due punti che non coincidono, calcolati al medesimo istante t.
E' corretto?grazie
Risposte
Guarda, la cosa più semplice è esibire un controesempio. Prendi due circonferenze nel piano:
$gamma_1(t)=(cos t, sin t),\quad gamma_2(t)=2(cos t, sin t)$.
Allora $dot{gamma}_1(t)=(-sin t, cos t), dot{gamma}_2(t)=2(-sin t, cos t)$, ma non esiste alcuna traslazione che applichi una circonferenza di raggio $1$ su una circonferenza di raggio $2$.
$gamma_1(t)=(cos t, sin t),\quad gamma_2(t)=2(cos t, sin t)$.
Allora $dot{gamma}_1(t)=(-sin t, cos t), dot{gamma}_2(t)=2(-sin t, cos t)$, ma non esiste alcuna traslazione che applichi una circonferenza di raggio $1$ su una circonferenza di raggio $2$.
Se ricordo bene c'è un bel teorema di unicità a meno di movimenti rigidi: tale teorema assicura che una curva piana è individuata da una funzione vettoriale [tex]$t(s)$[/tex] e da una funzione scalare [tex]$k(s)$[/tex], le quali rappresentano, rispettivamente, il campo di versori tangenti e la curvatura della curva.
Nel controesempio di dissonance è la seconda funzione che è diversa: infatti mentre [tex]$t(s):=\dot{\gamma}_1 (s)=\tfrac{1}{2}\dot{\gamma}_2(s)$[/tex], si ha [tex]$k_1(s)=1\neq \tfrac{1}{2}=k_2(s)$[/tex].
Nel controesempio di dissonance è la seconda funzione che è diversa: infatti mentre [tex]$t(s):=\dot{\gamma}_1 (s)=\tfrac{1}{2}\dot{\gamma}_2(s)$[/tex], si ha [tex]$k_1(s)=1\neq \tfrac{1}{2}=k_2(s)$[/tex].
Il dubbio mi era venuto nella risoluzione del seguente problema: un elemento percorre la parabola $y=x^2$ con velocità in modulo costante,
stabilire la posizione dell'elemento al variare del tempo. Io allora ho pensato di partire dalla parametrizzazione generica
$x= t , y= t^2$, trovare il versore tangente $ T= (1,2t,0) $ per poi normalizzarlo e moltiplicarlo per una costante $c>0$ in modo da costruirmi
un vettore tangente di modulo costante. Integrando le componenti pensavo di trovare le componenti del moto, ma il vettore tangente costruito
così non è più tangente alla parabola che avevo considerato.
Ora conosco una maniera di procedere, ma non riesco a ricavare esplicitamente le componenti del moto.
Voi sapreste indicarmi una via semplice o effettivamente una via semplice non c'è?
stabilire la posizione dell'elemento al variare del tempo. Io allora ho pensato di partire dalla parametrizzazione generica
$x= t , y= t^2$, trovare il versore tangente $ T= (1,2t,0) $ per poi normalizzarlo e moltiplicarlo per una costante $c>0$ in modo da costruirmi
un vettore tangente di modulo costante. Integrando le componenti pensavo di trovare le componenti del moto, ma il vettore tangente costruito
così non è più tangente alla parabola che avevo considerato.
Ora conosco una maniera di procedere, ma non riesco a ricavare esplicitamente le componenti del moto.
Voi sapreste indicarmi una via semplice o effettivamente una via semplice non c'è?
Prova a parametrizzare in ascissa curvilinea.
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