Dubbio vettore normale

[frnero]

Salve,
quando determino il vettore normale alla superficie di una curva $f=(x,y)$ faccio il prodotto vettoriale di volevo sapere cosa rappresentano i vettori $\varphi v$ e $\varphi u$ dal punto di vista grafico. Ho capito che rappresentano i vettori che identificano il piano tangente alla curva ma mi sfugge la loro relazione con la funzione stessa. E volevo anche sapere che relazione c'è con il gradiente(nel caso ci sia)! Grazie in aticipo

[gugo82]

A me sfugge cosa sia la "superficie di una curva $f=(x,y)$"... Potresti esprimerti meglio?

[frnero]

"gugo82":A me sfugge cosa sia la "superficie di una curva $f=(x,y)$"... Potresti esprimerti meglio?

Cerco di spiegarmi. Se considero la funzione $z=f(x,y)$ e l'aperto $D$ definito sul piano $x,y$ quindi in $R^2$, questo dominio identifica sulla funzione una superficie di $R^3$. Quella è la superficie a cui mi riferisco. Nel post precedente ho sbagliato a scrivere la funzione è ovviamente $z=f(x,y)$.

[gugo82]

"frnero":[quote="gugo82"]A me sfugge cosa sia la "superficie di una curva $f=(x,y)$"... Potresti esprimerti meglio?

Cerco di spiegarmi. Se considero la funzione $z=f(x,y)$ e l'aperto $D$ definito sul piano $x,y$ quindi in $R^2$, questo dominio identifica sulla funzione una superficie di $R^3$. Quella è la superficie a cui mi riferisco. Nel post precedente ho sbagliato a scrivere la funzione è ovviamente $z=f(x,y)$.[/quote]
Non che qui sia più chiaro, ma almeno hai cercato di chiarire il concetto.

Detto meglio, ad ogni funzione \(f:D\to \mathbb{R}\) definita in un aperto non vuoto \(D\subseteq \mathbb{R}^2\) e di classe \(C^1\) può essere associato un insieme \(G_f\subseteq \mathbb{R}^3\) che ne rappresenti il grafico.
In particolare\(G_f\) è l'insieme dei punti dello spazio definito come segue:
\[
G_f := \left\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ (x,y)\in D \text{ e } z=f(x,y)\right\}
\]
e da ciò segue che esso può essere riguardato come immagine di \(D\) attraverso l'applicazione vettoriale \(\mathbf{\phi}:D\to \mathbb{R}^3\) definita dall'assegnazione:
\[
\mathbf{\phi} (x,y) := \left( x,y,f(x,y)\right)\; ,
\]
i.e. si ha \(G_f = \mathbf{\phi} (D)\).
La funzione vettoriale \(\mathbf{\phi}\) è di classe \(C^1\) in \(D\) (perché le sue componenti hanno tale regolarità) e perciò essa può essere pensata come (rappresentazione parametrica di) una superficie di \(\mathbb{R}^3\): tale superficie viene detta superficie-grafico di $f$, in quanto il suo sostegno che coincide proprio con il grafico $G_f$.

Inoltre, non è difficile constatare che la superficie-grafico di $f$ è una superficie regolare: infatti, derivando, si trova:
\[
\begin{split}
\mathbf{\phi}_x (x,y) &= \left( 1,0,f_x(x,y)\right)\\
\mathbf{\phi}_y (x,y) &= \left( 0,1,f_y(x,y)\right)
\end{split}
\]
da cui segue che il vettore normale alla superficie è:
\[
\tag{1}
\mathbf{\phi}_x (x,y) \land \mathbf{\phi}_y(x,y) = \left( -f_x(x,y), -f_y(x,y),1\right)
\]
ed ha modulo:
\[
\left| \mathbf{\phi}_x (x,y) \land \mathbf{\phi}_y(x,y)\right| = \sqrt{\big( f_x(x,y)\big)^2 + \big(f_y(x,y)\big)^2 +1} >0
\]
per ogni $(x,y)\in D$, rispettando la condizione di regolarità.

Assodato ciò, veniamo alla tua domanda, cioé cerchiamo di capire qual è il significato dei vettori derivati \( \mathbf{\phi}_x (x,y) \) e \( \mathbf{\phi}_y(x,y)\) e quale siano le relazioni col gradiente \(\nabla f(x,y)=\left(f_x(x,y), f_y(x,y)\right)\).

Si può dimostrare che lo spazio \(T(\mathbf{p}_0)\) tangente ad una superficie-grafico \(\mathbf{\varphi}\) in un punto \(\mathbf{p}_0=\mathbf{\varphi}(x_0,y_0)\) è un sottospazio affine di \(\mathbb{R}^3\); precisamente è il sottospazio affine di \(\mathbb{R}^3\) che passa per \(\mathbf{p}_0\) ed ha la giacitura vettoriale generata dai vettori derivati \(\mathbf{\phi}_x (x_0,y_0)\) e \(\mathbf{\phi}_y(x_0,y_0)\): in altri termini, hai:
\[
\begin{split}
T(\mathbf{p}_0) &= \mathbf{p}_0 + \operatorname{span} \left\{ \mathbf{\phi}_x (x_0,y_0), \mathbf{\phi}_y(x_0,y_0) \right\}\\
&= \left\{ \mathbf{p}_0 + t\ \mathbf{\phi}_x (x_0,y_0) + s\ \mathbf{\phi}_y (x_0,y_0),\ t,s\in \mathbb{R}\right\}
\end{split}
\]
Dato che la superficie-grafico è regolare, i due vettori derivati \(\mathbf{\phi}_x (x_0,y_0)\) e \(\mathbf{\phi}_y(x_0,y_0)\) sono linearmente indipendenti (in soldoni, questo è il significato della condizione di regolarità) e perciò il sottospazio vettoriale generato da essi generato, cioé lo \(\operatorname{span} \left\{ \mathbf{\phi}_x (x_0,y_0), \mathbf{\phi}_y(x_0,y_0) \right\}\), ha dimensione \(2\); conseguentemente, lo spazio tangente \(T(\mathbf{p}_0)\) alla superficie-grafico in \(\mathbf{p}_0\) è un piano affine di \(\mathbb{R}^3\).
In particolare, passando in coordinate, tale piano ha equazione cartesiana:
\[
\langle \mathbf{\phi}_x (x_0,y_0) \land \mathbf{\phi}_y(x_0,y_0), \mathbf{p}-\mathbf{p}_0\rangle =0\quad \Leftrightarrow\quad -f_x(x_0,y_0)\ (x-x_0) - f_y(x_0,y_0)\ (y-y_0) + z-f(x_0,y_0) =0
\]
ossia:
\[
z= f_x(x_0,y_0)\ (x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\ (y-y_0) + f(x_0,y_0)
\]
che è proprio l'equazione del piano tangente al grafico di una funzione riportata su ogni testo di Analisi II.
Quindi il significato geometrico dei vettori derivati è il seguente:

I vettori derivati \(\mathbf{\phi}_x (x,y)\) e \(\land \mathbf{\phi}_y(x,y)\) calcolati in un punto \((x_0,y_0)\) sono i generatori della giacitura del piano tangente alla superficie-grafico \(\mathbf{\phi}(x,y)\) nel punto \(\mathbf{\phi}(x_0,y_0)\).

Questa stessa conclusione vale per ogni superficie regolare, non solo per le superfici-grafico.

Nota, poi, che la relazione (1) che fornisce le coordinate del vettore normale alla superficie, si può scrivere:
\[
\mathbf{\phi}_x (x,y) \land \mathbf{\phi}_y(x,y) = \left( -\nabla f(x,y),1\right)
\]
quindi la relazione tra vettore normale ad una superficie-grafico e vettore gradiente della funzione che genera il grafico è la seguente:

Il vettore normale ad una superficie-grafico \(\mathbf{\phi}(x,y)\) in un punto \((x_0,y_0)\) rimane individuato non appena si conosca il gradiente della funzione \(f(x,y)\) che genera tale grafico nel punto \((x_0,y_0)\).
In particolare, le prime due coordinate del vettore normale alla superficie-grafico sono le coordinate del gradiente della funzione generatrice cambiate di segno, i.e. le due derivate parziali cambiate di segno \(-f_x(x_0,y_0)\) e \(-f_y(x_0,y_0)\).

[frnero]

Scusami se ti rispondo solo ora.

Dato che la superficie-grafico è regolare, i due vettori derivati ϕx(x0,y0) e ϕy(x0,y0) sono linearmente indipendenti (in soldoni, questo è il significato della condizione di regolarità) e perciò il sottospazio vettoriale generato da essi generato, cioé lo span{ϕx(x0,y0),ϕy(x0,y0)}, ha dimensione 2; conseguentemente, lo spazio tangente T(p0) alla superficie-grafico in p0 è un piano affine di R3.
In particolare, passando in coordinate, tale piano ha equazione cartesiana:
⟨ϕx(x0,y0)∧ϕy(x0,y0),p−p0⟩=0⇔−fx(x0,y0) (x−x0)−fy(x0,y0) (y−y0)+z−f(x0,y0)=0

ossia:
z=fx(x0,y0) (x−x0)+fy(x0,y0) (y−y0)+f(x0,y0)

che è proprio l'equazione del piano tangente al grafico di una funzione riportata su ogni testo di Analisi II.

Più o meno ho capito. Mi potresti dare un esempio un pratico per chiarirmi un po più le idee. Considerando una generica funzione $ z=f(x,y) $ e un punto di questa di coordinate $ P=(x,y,z) $ a cosa corrispondono quei due vettori? E' giusta questa interpretazione o è completamente inesatta? Rappresentano il coefficiente angolare delle due rette tangenti al curva individuate dalle derivate parziali lungo x e lungo y. Detto in soldoni taglio la curva due piani uno perpendicolare al piano xy, passante per il punto dato e parallelo il primo ad ad xz e il secondo ad yz; derivo prima rispetto ad x(mantenendo costante la y(primo piano)) e poi rispetto ad y. Ottengo cosi due rette (sui due piani dati) e quelle sono le rette il cui coefficiente angolare rappresentano i due vettori dati.

Grazie in aticipo.