Dubbio veloce...

[edomar1]

Buonasera a tutti ragazzi, mi rendo conto di essere abbastanza rompiscatole... Il caro Wolfram mi ha fatto venire un bel dubbio... Devo cercare massimi e minimi relativi della funzione $f(x,y)=|e^(x^3+x^2+y^2+xy)-4|$... Considero la funzione $g(x,y)=x^3+x^2+y^2+xy$ ne calcolo le derivate parziali, le metto a sistema annullandole e trovo i punti $A(0,0)$ e $B(-1/2, 1/4)$... Dal calcolo dell'hessiano affermo che A è un punto di minimo relativo e B è un punto di sella... E fino a qui Wolfram mi segue... Adesso studio la funzione $h(z)=|e^z-4|$; essa ha grafico e, quindi, in $z=ln4$ dovrebbe avere un minimo assoluto... Da cui segue che tutti i punti appartenenti a $x^3+x^2+y^2+xy-ln4=0$ sono di minimo assoluto per la $f(x,y)$... Il ragionamento dovrebbe essere corretto, ma Wolfram mi dice che non ci sono punti di minimo assoluto... Chiedo aiuto!

[gugo82]

L'equazione \(y^2+xy+x^3+x^2-\ln 4=0\) è di secondo grado in \(y\); quindi essa individua qualche curva di \(\mathbb{R}^2\) solo se \(\Delta \geq 0\) in una regione "piena"; il discriminante è \(x^2-4(x^3+x^2-\ln 4)=-4x^3-3x^2+4\ln 4\) e con un piccolo studio di funzione si vede che esso è \(\geq 0\) per \(x\leq \xi \approx 0.91\); quindi ci sono minimi e tali minimi stanno sulla curva i cui rami hanno equazioni:
\[
y=\frac{-x\pm \sqrt{-4x^3-3x^2+4\ln 4}}{2}
\]
per \(x\leq \xi\).