Dubbio varietà differenziale
Scusate ma non riesco a capire bene cose una varietà differenziale da quanto ho capito
una varietà differenziale è una varietà topologica dotata di un atlante massimale le qui funzioni di transizione siano differenziabile.
Ma non so se è esatta anche a livello di definizione.. sarei felice se potreste farmi anche qualche esempio grazie in anticipo
una varietà differenziale è una varietà topologica dotata di un atlante massimale le qui funzioni di transizione siano differenziabile.
Ma non so se è esatta anche a livello di definizione.. sarei felice se potreste farmi anche qualche esempio grazie in anticipo
Risposte
"DerivoxTe":
Scusate ma non riesco a capire bene cose una varietà differenziale da quanto ho capito
una varietà differenziale è una varietà topologica dotata di un atlante massimale le qui funzioni di transizione siano differenziabile.
Ma non so se è esatta anche a livello di definizione.. sarei felice se potreste farmi anche qualche esempio grazie in anticipo
La definizione come l'hai scritta tu non è che sia estremamente precisa. Dal momento che richiedi che allo spazio topologico T2 sia assegnato un atlante, mi sembra inutile specificare che le funzioni di transizione debbano essere differenziabili. Infatti ciò è insito nella definizione di atlante:
Def: atlante differenziabile Un n-atlante differenziabile di classe $C^k$ nello spazio topologico X è una famiglia di n-carte locali ${(U_{\lambda},\phi_{\lambda})}$ tali che ${U_{\lambda}}$ sia un ricoprimento di X e le carte locali siano a 2 a 2 $C^k$ compatibili.
Ora, richidere che le carte locali $(U,\phi)$ e $(V,\psi)$ in X siano $C^k$ compatibili significa che, se i due aperti di definizione U e V hanno intersezione non nulla , l'applicazione:
$\psi \cdot \phi^{-1}: \phi(U \cap V) \rightarrow \psi ( U\cap V)$
è un diffeomorfismo di classe $C^k$, ovvero è biettiva, differenziabile, con inversa differenziabile
Ovviamente per comprendere tutto ciò bisogna conoscere bene la definizione di n-carta locale e relative proprietà ( ma non è niente di troppo difficile, puoi benissimo guardarti tutta questa parte sul Sernesi 2 da cui sono prese anche le notazioni che ho usato sopra ).
Per quanto riguarda la costruzione di varietà differenziabili, ti consiglio di riferirti ancora al Sernesi ove vengono riportate le principali tecniche per assegnare carte locali a semplici spazi topologici. Un classico esempio è la funzione chiamata proiezione stereografica:
$\pi_{+}: S^1-{0,1} \rightarrow \RR$
$(x,y) \rightarrow \frac{x}{1-y}$
Una carta così definita non costituisce un ricoprimento di $S^1$, quindi è necessario aggiungere una seconda carta:
$\pi_{-}: S^1-{0,-1} \rightarrow \RR$
$(x,y) \rightarrow \frac{x}{1+y}$
Ora prova per esercizio a verificare che le due carte siano differenziabilmente compatibili, usando la definizione data sopra.
con n-carte intendi carte di dimenzione n ??
"DerivoxTe":
con n-carte intendi carte di dimenzione n ??
Sì, più precisamente:
$X$ spazio topologico, $U \subset X$ è un aperto, e $\phi_U$ è un omeomorfismo di U su un aperto di $RR^n$, la coppia $(U,phi_U)$ è una n-carta locale in X.
allora sul fatto ke $S_1-{(0,1)}\cap S_1-{(0,-1)}\ne O/$ non c'è dubbio infatti da $S_1-{(0,1),(0,-1)}$
ma ora come vado avanti? devo compore $\pi_-$ e $\pi_+^-1$ o al contrario
ed in tal caso è corretta cosi composta $\pi_{-}\circ\pi_+^-1=((z(1-y))/(1+y),(xz)/(2z-x))$
ma ora come vado avanti? devo compore $\pi_-$ e $\pi_+^-1$ o al contrario
ed in tal caso è corretta cosi composta $\pi_{-}\circ\pi_+^-1=((z(1-y))/(1+y),(xz)/(2z-x))$
Abbiamo parlato intensamente di varietà & simili piuttosto di recente: qui. Magari trovi qualcosa di tuo interesse...
"DerivoxTe":
allora sul fatto ke $S_1-{(0,1)}\cap S_1-{(0,-1)}\ne O/$ non c'è dubbio infatti da $S_1-{(0,1),(0,-1)}$
ma ora come vado avanti? devo compore $\pi_-$ e $\pi_+^-1$ o al contrario
ed in tal caso è corretta cosi composta $\pi_{-}\circ\pi_+^-1=((z(1-y))/(1+y),(xz)/(2z-x))$
Scusa, da dove esce quella $z$?
Si dovrebbe fare così invece: considera l'inversa della mappa $\pi_+$ che è:
$\pi_+^{-1}(t): (\frac{2t}{t^2+1},\frac{t^2-1}{t^+1})$
Poi, sostituisci le componenti di $\pi_+^{-1}$ in $\pi_$ ( al posto di x e y quindi ) e ottieni una funzione di $\RR$.
Devi poi verificare che si tratti di un diffeomorfismo (sull'aperto di intersezione). Se componi le carte in ordine inverso dovresti ottenere la stessa cosa.
non capisco come hai fatto ad ottenere $\pi_+^{-1}(t): (\frac{2t}{t^2+1},\frac{t^2-1}{t^+1})$
"DerivoxTe":
non capisco come hai fatto ad ottenere $\pi_+^{-1}(t): (\frac{2t}{t^2+1},\frac{t^2-1}{t^+1})$
Scusa, mi sono sbagliata a scrivere, l'inversa della carta locale è $\pi_+^{-1}(t): (\frac{2t}{t^2+1},\frac{t^2-1}{t^2+1})$
Lo puoi ricavare ripercorrendo al contrario i passaggi che fai per ottenere la proiezione stereografica. Quelle che ti ho scritto io sono solo le formule e non ho approfondito più di tanto perché non mi sembrava utile ai fini del nostro esempio.
Per capire meglio la p.s. dovresti invece considerare il procedimento ( cercalo su un qualsiasi libro, oppure anche Wiki va bene ) e scrivere le parametrizzazioni dei vari oggetti che trovi ( ovvero le rette per P e N, oppure P e S ). Dopo che hai ottenuto le parametrizzazioni dovrebbe essere facile invertirle.
come hai ottenuto $\pi_+$ e $\pi_-$ sono riuscito a capirlo ma a trovare l'inverso no
"DerivoxTe":
come hai ottenuto $\pi_+$ e $\pi_-$ sono riuscito a capirlo ma a trovare l'inverso no
Coome parametrizzi la retta passante per N e per $P=(x,y)$?
sono finalmente riuscito a capire tutto grazie della disponibilita e comunque sia le due carte sono $C^ktext{-compatibili}$ la cosa che mi mancava e che $S^1={(x,y)\in RR^2 : x^2+y^2=1}$
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