Dubbio valutazione successione e massimo/minimo limite
Stavo calcolando il limite di questa successione:
$a_n= ((n+2)/(1-n))^n$ .
Avevo un po' di confusione a riguardo perché mi ero mosso in questi termini ma non ne ero per niente certo.
$lim((n+2)/(1-n))^n=lim((-n+2n+1+1)/(1-n))^n=lim(1+(2n+2)/(1-n))^(n*(1-n)/(2n+1)*(2n+1)/(1-n))=lim(e+o(1))^((2n^2+n)/(1-n))=e^(-oo)=0$
Il fatto è che questa successione non ammette limite. Quindi mi sono chiesto se il limite notevole fosse stato usato correttamente. Effettivamente a posteriori ho notato che l'esponente $(1-n)/(2n+1)$ non diverge a $+oo$ per $n->+oo$. Quindi sono ritornato sui miei passi.
Quel che vorrei capire è: che tipo di valutazione potrei fare per capire che non devo stare a tentare all'infinito per cercare di risolvere il limite ma giungere alla conclusione che la successione non è regolare?
Dovrei provare a usare il teorema di partizione e calcolare le sottosuccessioni pari e dispari?
Però, in questo caso, anche con le due estratte non cambierebbe nulla, nel calcolo del limite.
Cosa dovrei studiare per trovare il massimo e il minimo limite?
Solitamente le successioni non regolari che studio sono tutte del tipo $(-1)^n$ che moltiplica qualcosa o $sin(\alpha*n)$ o con il coseno e situazioni affini.
Vi ringrazio anticipatamente!
$a_n= ((n+2)/(1-n))^n$ .
Avevo un po' di confusione a riguardo perché mi ero mosso in questi termini ma non ne ero per niente certo.
$lim((n+2)/(1-n))^n=lim((-n+2n+1+1)/(1-n))^n=lim(1+(2n+2)/(1-n))^(n*(1-n)/(2n+1)*(2n+1)/(1-n))=lim(e+o(1))^((2n^2+n)/(1-n))=e^(-oo)=0$
Il fatto è che questa successione non ammette limite. Quindi mi sono chiesto se il limite notevole fosse stato usato correttamente. Effettivamente a posteriori ho notato che l'esponente $(1-n)/(2n+1)$ non diverge a $+oo$ per $n->+oo$. Quindi sono ritornato sui miei passi.
Quel che vorrei capire è: che tipo di valutazione potrei fare per capire che non devo stare a tentare all'infinito per cercare di risolvere il limite ma giungere alla conclusione che la successione non è regolare?
Dovrei provare a usare il teorema di partizione e calcolare le sottosuccessioni pari e dispari?
Però, in questo caso, anche con le due estratte non cambierebbe nulla, nel calcolo del limite.
Cosa dovrei studiare per trovare il massimo e il minimo limite?
Solitamente le successioni non regolari che studio sono tutte del tipo $(-1)^n$ che moltiplica qualcosa o $sin(\alpha*n)$ o con il coseno e situazioni affini.
Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Ti sei già risposto da solo sulla validità del limite notevole, non puoi applicarlo scrivendo la successione in quella forma.
Per la non esistenza del limite, osserva che:
$$\left(\frac{n+2}{1-n}\right)^n=(-1)^n \left(\frac{n+2}{n-1}\right)^n=(-1)^n \left(1+\frac{3}{n-1}\right)^n$$
Per la non esistenza del limite, osserva che:
$$\left(\frac{n+2}{1-n}\right)^n=(-1)^n \left(\frac{n+2}{n-1}\right)^n=(-1)^n \left(1+\frac{3}{n-1}\right)^n$$
Era più banale di quanto credessi. Ti ringrazio, gentilissimo!
Prego! Comunque, non è che esista un metodo generale per capire se una successione non ha limite: a volte, anche se si vuole procedere considerando due sottosuccessioni avente limite diverso, le sottosuccessioni da considerare non sono così ovvie. Occhio anche ai ragionamenti intuitivi: non tutte le successioni aventi termini oscillanti come seno, coseno o $(-1)^n$ sono irregolari. Ad esempio, queste successioni:
$$b_n=\frac{(-1)^n}{n}$$
$$c_n=\sin\left(2\pi \sqrt{n^2+n}\right)$$
Ammettono limite per $n\to+\infty$.
$$b_n=\frac{(-1)^n}{n}$$
$$c_n=\sin\left(2\pi \sqrt{n^2+n}\right)$$
Ammettono limite per $n\to+\infty$.
Si certo. Nel primo caso si ha il prodotto tra una successione limitata e una infinitesima che è una successione infinitesima. Nel caso di $c_n$ invece non sono sicuro del limite.
Ah ok diventano multipli interi di $2pi$, giusto?
Praticamente sì, però va dimostrato per bene. 
Se calcolo il limite ho, riarrangiando, $lim_(n->+oo) sin(2pi*n*sqrt(1+1/n))=0$, o devo fare altro?
Sì, esatto!
Ti ringrazio ancora. Posso approfittare di questo thread per fare un'altra domanda però sullo studio di una funzione continua definita a tratti con parametro o debbo creare un nuovo argomento?
Prego! Generalmente, è preferibile un esercizio per argomento. Aprine pure un altro, non ci sono problemi.
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