Dubbio Trasformata Z

[bblack25]

Buongiorno,stavo provando a fare questo esercizio ma non sono sicuro di averlo svolto correttamente.
Dovo fare la trasformata Zeta:

$Z[sen^2(pi/4|n-4|)]$

Ho provato a fare i seguenti passaggi:

$Z[sen^2(pi/4|n-4|)]=sum_(n=0)^3sen^2(pi/4|n-4|)z^(-n)+sum_(n=4)^\inftysen^2(pi/4(n-4))z^(-n)$

A questo punto ho svolto la prima serie:

$sum_(n=0)^3sen^2(pi/4|n-4|)z^(-n)=1/(2z)+1/z^2+1/(2z^3)$

Per quanto riguarda la seconda invece:

$sum_(n=4)^\inftysen^2(pi/4(n-4))z^(-n)=sum_(k=0)^\inftysen^2(pi/4k)z^-(k+4)=1/z^4sum_(k=0)^\infty(1-cos(kpi/2))/2 z^(-k)=$
A questo punto visto che abbiamo $cos(k pi/2)$ ho pensato di "spezzettare" la serie:
$=1/z^4[sum_(k=2m+1)^\infty(1-cos(kpi/2))/2 z^(-k)+sum_(k=4m)^\infty(1-cos(kpi/2))/2 z^(-k)+sum_(k=4m+2)^\infty(1-cos(kpi/2))/2 z^(-k)]=1/z^4[z/(2(z^2-1))+z^2/(z^4-1)]$
Mi farebbe molto piacere se ci desse un'occhiata anche perchè non mi trovo col risultato di w.a. .Grazie mille per le pazienza

[Quinzio]

Lasciando perdere un attimo $(n-4)$, abbiamo
$\sum_(n=0) \sin^2 (\pi/4 n) = 0+1/2+1+1/2+0+1/2+1+...$

che si può scrivere come somma di due serie di costanti

$\sum_(n=0) \sin^2 (\pi/4 n) =( 0+1/2+0+1/2+...)+(0+0+1+0+0+0+1+...) $

Ora, applicando le proprietà di espansione temporale e traslazione, dovresti poter scrivere in modo immediato questa somma.