Dubbio teorico sulle serie di funzioni

[maximus241]

Salve, stavo pensando: se trovo che, in generale, una funzione converge assolutamente su R, questa su R non può convergere uniformemente vero? Il dubbio mi è venuto facendo un parallelo con le serie di potenze, le quali convergono assolutamente in un intervallo del tipo (a,b) e convergono uniformemente (in funzione del fatto che qui vi convergerà totalmente) in un sotto intervallo. Quindi, tornando a ciò che scrivevo prima, se una funzione converge assolutamente su R, questa convergerà uniformemente in un sotto intervallo di R (che si definisce opportunamente) e in generale in un sotto intervallo di (a,b).

Mentre, qualora convergesse assolutamente su intervallo del tipo [a,b] allora può convergere uniformemente in [a,b].
Giusto?

Il tutto detto moooolto grossomodo e in linea di principio, ovviamente.

[poll89]

In realtà convergenza assoluta ed uniforme non dicono nulla l'una sull'altra. Ci sono esempi di funzioni convergenti assolutamente ma non uniformemente e viceversa, come pure di funzioni convergenti in entrambi i modi. C'è però la convergenza totale o normale (si dice in entrambi i modi), che si ha quando $||f_n||_(infty,I) ->0$ e che implica tutti gli altri tipi di convergenza.

[maximus241]

quello lo so, ma ho trovato diversi esercizi che dando convergenza assoluta (la quale non è connessa a quella uniforme, su questo siamo tutti d'accordo) su un intervallo, escludono quella totale, dunque quella uniforme..

tipo in questo esercizio:

\(\displaystyle \sum (-1)^{n} \frac {ln(1+x^{2n})}{n+3} \)

ad un certo punto arriva a dire:" [...] l’insieme di convergenza puntuale è [−1, 1], l’insieme di convergenza assoluta è (−1, 1).
L’ultima affermazione implica che la serie assegnata non può convergere totalmente in (−1, 1); se lo
facesse, essendo una serie di funzioni continue in [−1, 1] convergerebbe totalmente in [−1, 1] e quindi
assolutamente in [−1, 1], il che non è."

E poi trova la convergenza uniforme in un sotto intervallo