Dubbio teorico

[Boemio1]

Se ho una funzione $f: R \to R$ tale che $f>0$, $f'<0$ e $f''>0$ in tutto $R$ (cioè sempre positiva, decrescente e convessa), da ciò è possibile dedurre che $\lim_{x\to +\infty}f''(x)=0$??? se si come si può fare???

[stormy1]

ci provo
se $f>0$ e $f'<0$,a $+infty$ la $f$ deve avere un asintoto orizzontale altrimenti ad un certo punto diventerebbe negativa
ma allora $ lim_(x -> +infty)f'=0 $
per questo motivo l'asse delle x è asintoto orizzontale per $f'$ e ciò implica che,essendo $f''$ la derivata di $f'$ , $ lim_(x -> +infty)f''=0 $

[Boemio1]

l'unica cosa che non mi convince è che se ha l'asintoto orizzontale allora $\lim_{x\to +\infty} f'(x)=0$, perché in teoria la funzione potrebbe avere un asintoto orizzontale per un qualsiasi $y=l>0$.
Io stavo pensando di farlo vedere per assurdo nel senso che, supponendo $\lim_{x\to +\infty} f''(x)=l>0$ allora questo significa che la funzione $f$ è sempre strettamente convessa quindi o deve essere sempre decrescente e pertanto poi attraversare l'asse delle $x$ (infrangendo l'ipotesi $f>0$), oppure ad un certo punto deve cominciare a risalire (infrangendo l'ipotesi $f'<0$). Idealmente sono convinta che sia giusto, ho un po' di difficoltà nel formalizzarlo!

[stormy1]

non confondere $ lim_(x -> +infty)f=l $ con $ lim_(x -> +infty)f'=l $
nelle nostre ipotesi quando si ha il primo limite si ha sempre $ lim_(x -> +infty)f'=0 $ perchè la funzione tende ad appoggiarsi dolcemente sull'asintoto

[Boemio1]

Ahhhhh ho capito... avevo letto male la parte finale!!! grazie mille!!!

[stormy1]

prego
una piccola precisazione per prevenire un'eventuale obiezione : la monotonia di $f$ e di $f'$ ci assicurano la tesi perchè escludono la possibilità di oscillazioni smorzate