Dubbio teoria su esistenza piano tangente
Se una funzione in un punto (a,b) ha gradiente nullo,, possiamo affermare che esiste il piano tangente in (a,b,f(a,b)) ?
Se la risposta è negativa quale ulteriore condizione deve verificarsi perchè ciò accada e quale è l'equazione del piano tangente?
Se la risposta è negativa quale ulteriore condizione deve verificarsi perchè ciò accada e quale è l'equazione del piano tangente?
Risposte
Posso affermare che:
Le derivate parziali di una funzione forniscono informazioni solo ed esclusivamente sulla regolarità delle curve ottenute, mentre non danno alcun tipo di informazione sulla regolarità complessiva della superficie (nel punto scelto). Per valutare il grado di regolarità della superficie nel punto scelto occorre essere certi che la superficie ammette piano tangente (cioè che è differenziabile): perché questo succeda l'esistenza delle derivate parziali è condizione solo necessaria ma non sufficiente. Una condizione sufficiente per l'esistenza del piano tangente è il fatto che le derivate parziali siano continue in tutto un intorno (bidimensionale!) del punto (x0, y0).
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Le derivate parziali di una funzione forniscono informazioni solo ed esclusivamente sulla regolarità delle curve ottenute, mentre non danno alcun tipo di informazione sulla regolarità complessiva della superficie (nel punto scelto). Per valutare il grado di regolarità della superficie nel punto scelto occorre essere certi che la superficie ammette piano tangente (cioè che è differenziabile): perché questo succeda l'esistenza delle derivate parziali è condizione solo necessaria ma non sufficiente. Una condizione sufficiente per l'esistenza del piano tangente è il fatto che le derivate parziali siano continue in tutto un intorno (bidimensionale!) del punto (x0, y0).
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Affinchè una funzione $f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ammetta un piano tangente nel punto $\mathbf{p_0}$ essa dev'essere differenziabile in tale punto.
Detto ciò, l'equazione dell'iperpiano è, indicando con $\mathbf{p} = [x,y]^T$ il vettore delle incognite.
\[z = f(\mathbf{p_0}) + <\nabla f(\mathbf{p_0}),\mathbf{p} - \mathbf{p_0}>\]
Ovvero:\[ z - z_0 - \partial_xf(\mathbf{p_0})(x-x_0) -\partial_yf(\mathbf{p_0})(y-y_0) = 0 \]
EDIT: Tutto quello che hai detto nel secondo post è esatto!
Detto ciò, l'equazione dell'iperpiano è, indicando con $\mathbf{p} = [x,y]^T$ il vettore delle incognite.
\[z = f(\mathbf{p_0}) + <\nabla f(\mathbf{p_0}),\mathbf{p} - \mathbf{p_0}>\]
Ovvero:\[ z - z_0 - \partial_xf(\mathbf{p_0})(x-x_0) -\partial_yf(\mathbf{p_0})(y-y_0) = 0 \]
EDIT: Tutto quello che hai detto nel secondo post è esatto!
Quindi va bene anche quello che ho scritto io? O è più precisa la tua risposta?
Sei un grande, grazie mille
Sei un grande, grazie mille
Il requisito è che la funzione sia differenziabile, non ce ne sono altri.
Chiaramente "essere differenziabile" nella pratica è difficile da verificare caso per caso quindi ci sia appoggia a dei teoremi che ci aiutino a stabilire delle condizioni sufficienti affinché la funzione sia differenziabile. La condizione che hai citato tu è sicuramente la più utile. Se tutte le derivate parziali esistono e sono continue (volendo si può rilassare la condizione a tutte tranne una), e quindi $f \in C^1$, allora $f$ è differenziabile.
Quello che hai scritto nel secondo messaggio è corretto!
Chiaramente "essere differenziabile" nella pratica è difficile da verificare caso per caso quindi ci sia appoggia a dei teoremi che ci aiutino a stabilire delle condizioni sufficienti affinché la funzione sia differenziabile. La condizione che hai citato tu è sicuramente la più utile. Se tutte le derivate parziali esistono e sono continue (volendo si può rilassare la condizione a tutte tranne una), e quindi $f \in C^1$, allora $f$ è differenziabile.
Quello che hai scritto nel secondo messaggio è corretto!
Grazie ancora!
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