Dubbio teorema di Stokes

[asker993]

Ciao a tutti, mi è venuto un dubbio, se ho un quadrato sul piano $xy$ di lato $L$ e voglio calcolare la circuitazione di un campo $A$(vettore) di quel quadrato (con solo i lati, come fossa una spira) ed applico il teorema di Stokes, chi mi dice che io debba prendere come superficie di riferimento quella interna al quadrato e non quella esterna?
Scusate se la domanda può sembrar stupida, ma il concetto di calcolare il flusso del rotore attraverso una superficie che in realtà non c'è (esempio del quadrato, tra i suoi lati internamente non c'è "niente", non c'è una superficie fisica) mi confonde abbastanza...

PS: che differenza c'è se il quadrato è senza una superficie fisica ma ha soltanto i lati e se il quadrato ha una superficie fisica nell'utilizzare il teorema di Stokes? Non dovrebbe cambiar niente...ma....voi che dite?

[dissonance]

Penso che non cambi niente con qualche ipotesi sul comportamento all'infinito del tuo campo. Mi spiego usando il teorema della divergenza che mi viene più facile, ma il concetto è lo stesso. Supponiamo che un campo \(\vec{E}\) sia tale che \[\left\lvert\vec{E}(x,y,z)\right\rvert \le C \left(x^2+y^2+z^2\right)^{-(1+\epsilon)}\] (i.e. decade più che quadraticamente). Vogliamo il flusso \(\Phi\) attraverso la sfera di raggio 1, che sappiamo essere uguale all'integrale di volume
\[
\iiint_{x^2+y^2+z^2<1} \nabla \cdot \vec{E}\, dV.\]
Calcolando invece l'integrale di volume su una corona sferica avente come superficie interna la sfera unitaria e come superficie esterna la sfera di raggio \(R>0\), otteniamo
\[\tag{1}
\iiint_{1 ma il resto è uguale al flusso di \(\vec{E}\) attraverso la sfera esterna, e per l'ipotesi di decadimento rapido di \(\vec{E}\) esso tende a \(0\) quando \(R\to \infty\). Perciò la (1) diventa, al limite per \(R\to\infty\)
\[
\iiint_{1 \]