Dubbio teorema del Dini

[milanistamalato]

sia $f(x,y)=x^2y+e^(x^2+y)$ e sia $D=[(x,y) in R^2 : f(x,y)=0]$. Dire qual è il più grande sottoinsieme $A$ di $R$ tale che l'insieme $D$ è rappresentabile come grafico di una funzione $y=phi(x)$ definita per ogni $x$ appartenente ad $A$.
Come devo procedere, non ho ben capito quello che mi chiede, mi aiutate?

[ciampax]

Cosa afferma il Teorema del Dini? Sostanzialmente esso ti da' le condizioni per cui puoi "esplicitare" una funzione, per cui devi verificarne le ipotesi, per la funzione data, e capire su quale insieme $A$ esse valgano.

[milanistamalato]

uhm..ho capito quello che vuoi dire...io devo verificare le ipotesi del dini, quindi devo trovare tutti i punti possibili $in D$ che non mi annullino il gradiente della $f(x,y)$. Ma in quel caso io non troverei un sottoinsieme di $R^2$, formato da tutti i punti $in D$ (che è $sub R^2$) esclusi quelli che annullano il gradiente?

[ciampax]

Ma perché, invece di porre domande non molto precise, non provi a fare i conti?

[milanistamalato]

Facendo i conti ho che il gradiente è $(2xy+2xe^(x^2+y),x^2+e^(x^2+y) )$. Facendo il sistema delle due derivate parziali poste uguale a zero, ho i seguenti passaggi:
$ { ( 2xy+2xe^(x^2+y)=0 ),(x^2+e^(x^2+y)=0 ):} $
$ { ( 2x(y+e^(x^2+y))=0 ),(x^2+e^(x^2+y)=0 ):} $

a questo punto ho due strade:

1) $ { ( x=0 ),(e^y=0 ):} $ che è impossibile

2) $ { ( e^(x^2+y)=-y ),(x^2=y ):} $ qui ho un po' di difficoltà nel trovare la soluzione, ma ammettiamo che sia facile da trovare questa soluzione, poi come continuo?

[ciampax]

Dal secondo sistema trovi che $y=x^2\ge 0$ ma anche che $e^{x^2+y}=-y\le 0$, che è impossibili. Ciò ti dice che il gradiente non è mai nullo, quindi...