Dubbio teorema Borel-Heine

[nikki1]

se non sbaglio il teorema dice che un insieme X chiuso e limitato e Ai una famiglia arbitraria di aperti che costituisce un ricoprimento di X, allora esiste una sottofamiglia di aperti che è ancora ricoprimento di X, un insieme che ha questa proprietà si dice compatto.
X è compatto <=> è chiuso e limitato;
Ora volevo sapere che rapporto c'è tra insieme compatto e continuità e l'importanza di tale teorema.

[Sk_Anonymous]

Anzitutto c'e' un'incompletezza nella definizione topologica che hai dato di compattezza: la sottofamiglia deve essere finita.

Seconda cosa importantissima e' che il Teorema che hai scritto come implicazione e' vero se e solo se lo spazio ambiente ha dimensione finita.

Terza cosa, se f e' una funzione continua, allora manda compatti in compatti: e questo fornisce i Teoremi di esistenza dei minimi (o massimi) per funzioni a valori reali. Questo vale in qualunque dimensione; il fatto e' che in dimensione infinita, siccome non abbiamo la caratterizzazione che hai postato tu, e' difficile, in generale, dimostrare la compattezza di un insieme.



Luca77