Dubbio Taylor ( II parte )

[Principe2]

supponiamo che abbia una funzione di cui voglio sapere se è somma della sua serie di Taylor; allora mi scrivo la serie di Taylor, a questo punto, è sufficiente mostrare la convergenza di tale serie?? in quanto in tal caso la serie Resto n-esimo è automaticamente infinitesima e quindi si dovrebbe avere la convergenza proprio alla serie di partenza.. o no?

grazie, ubermensch

[goblyn]

non ho ben capito la domanda.

Forse chiedi come faccio a essere sicuro che, mettendomi a calcolare meccanicamente i termini dello sviluppo in serie di taylor e poi sommandoli tutti (infiniti), ottengo una funzione uguale a quella che ho usato per calcolare i singoli termini?
Se la domanda è questa allora questa è equivalente a chiedersi se una funzione è sviluppabile o meno in serie di taylor.

[Principe2]

sì è la stessa cosa. per farlo si può vedere solo se la serie di taylor di una funzione converge e basta in un intervallo?

[goblyn]

Ah ho capito... vuoi avere una conferma a posteriori...

Se una serie di taylor converge (uniformemente. Forse basta anche puntualmente? non so bisognerebbe approfondire) ad una funzione f(x) allora questa f è (per l'unicità della serie di Fourier) la funzione la cui serie è quella di partenza.

[Principe2]

citazione:

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per l'unicità della serie di Fourier

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suppongo tu abbia scritto male e intendevi taylor!

comunque grazie


p.s. per serie di potenze la convergenza puntuale ad esempio in x=q implica la conv totale e quindi uniforme in tutti gli intervalli [a,b] contenuti in [-q,q], quindi il discorso se la convergenza debba essere puntuale o uniforme, in questo caso, è relativo


Modificato da - ubermensch il 13/04/2004 17:23:05

[Studente Anonimo]

La funzione :

y = exp(-1/x) per x 0
y = 0 per x = 0



è proprio uno di quei casi in cui lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale 0 , pur convergendo per ogni x , non converge alla funzione se non per x = 0.

La dimostrazione è un po' laboriosa, comunque risulta :

f(0) = 0 ; f'(0) = 0 ; f''(0) = 0 ; ... ; f(k)(0) = 0 ; ...

quindi lo sviluppo di Taylor di valore iniziale 0 è identicamente nullo per ogni x .

Bye.



Modificato da - arriama il 13/04/2004 18:07:22

[Principe2]

quindi la convergenza non basta... e che altri metodi ci sono?? io ne conosco uno solo: quello di trovare due costanti M,L>0 tali che, indicando con f(k) la derivata di ordine k, risulta:

|f(k)|
ciao

[Studente Anonimo]

C'è anche il teorema che riguarda il resto (esso deve tendere a 0) ed il teorema di Bernstein (la funzione deve essere di classe C infinito ed essere positiva o nulla assieme a tutte le derivate in un certo intorno).

Bye.

[Principe2]

quello di bernstein ancora non l'ho studiato, quello del resto lo conosco, ma sorge ora un dubbio: se una serie converge, allora ogni serie resto è infinitesima, qiondi se dimostro che la serie di Taylor di una funzione converge allora ho che il resto tende a zero, però mi hai mostrato che non è sempre così!!??

[Studente Anonimo]

La definizione di "resto della formula di Taylor" è :

R(n+1)(x) = f(x) - sviluppo di Taylor fino al termine n-simo

ergo, se lo sviluppo di Taylor converge ad un numero diverso da f(x), il resto della formula di Taylor non tende a 0 .

ps.

L'ambiguità nasce dalle differenti definizioni di "resto di una serie" e "resto della formula di Taylor".





Modificato da - arriama il 14/04/2004 08:25:35

[Principe2]

ora torna tutto... ho capito dove sorgeva la mia "confusione".

grazie comunque

ciao ubermensch

[Sk_Anonymous]

Attenzione a fare supposizioni sulla convergenza dello sviluppo di Taylor: non e' affatto vero che la serie di Taylor converge sempre;
andate a studiare le Funzioni analitiche.
Una curiosita': se pigliate una funzione di variabile complessa derivabile in senso complesso, allora questa funzione e' analitica nel suo dominio, ovvero si sviluppa in serie di potenze, cioe' in serie di Taylor.

Luca.