Dubbio Taylor
Mi scuso in anticipo se sto chiedendo qualcosa di veramente troppo scontato, ma ho un dubbio riguardo gli sviluppi di Taylor.
Per poter sviluppare un termine con la formula di Taylor è necessario che questo tenda a 0, o no?
Un esempio banale, per capire dove sbaglio a ragionare:
$ (root(4)(1-4*x^2+x^4 )-1+x^2)/x^4 $ devo calcolarne il limite per x che tende a zero,
quella radice non tende a zero, quindi non potrei approssimarla con Taylor così come è; sul mio libro invece lo fa, quindi l'unica cosa che mi è venuta da pensare è che tutto il numeratore tende a 0 e quindi lo posso fare. Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo.
Per poter sviluppare un termine con la formula di Taylor è necessario che questo tenda a 0, o no?
Un esempio banale, per capire dove sbaglio a ragionare:
$ (root(4)(1-4*x^2+x^4 )-1+x^2)/x^4 $ devo calcolarne il limite per x che tende a zero,
quella radice non tende a zero, quindi non potrei approssimarla con Taylor così come è; sul mio libro invece lo fa, quindi l'unica cosa che mi è venuta da pensare è che tutto il numeratore tende a 0 e quindi lo posso fare. Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo.
Risposte
Non deve necessariamente tendere a $0$.
Chiediti questo: quanto sarebbe utile usare Taylor se non ti si presentasse una forma indeterminata $0/0$? ...Se per esempio avessi che il numeratore tende a $2$ e il denominatore a $5$?
Chiedi nuovamente se non ne sei ancora convinta.
Chiediti questo: quanto sarebbe utile usare Taylor se non ti si presentasse una forma indeterminata $0/0$? ...Se per esempio avessi che il numeratore tende a $2$ e il denominatore a $5$?
Chiedi nuovamente se non ne sei ancora convinta.
Quindi gli sviluppi posso si possono utilizzare anche per termini non infinitesimi?
Comunque si mi rimane ancora il dubbio!
Ad esempio:
$ (e^sin(pix)-e^-sin(pix))/((1+root(4)(x))^pi-2^pi) $ dovendo farne il limite per x che tende a 1,
l'ha svolto il professore a lezione, per i termini al numeratore ha utilizzato lo sviluppo del tipo $ e^y=1+y+o(y) $ , mentre per il termine al denominatore, prima di applicare lo sviluppo del tipo $ (1+y)^alpha=1+alphay+o(y) $ ha effettuato un manipolazione per fa si che andasse a 0.
Quindi in realtà penso che mi sfugga il ragionamento di fondo, cioè in questo caso ha operato così per far si che venisse 0/0 e quindi di conseguenza applicare Taylor?
Grazie ancora
Comunque si mi rimane ancora il dubbio!
Ad esempio:
$ (e^sin(pix)-e^-sin(pix))/((1+root(4)(x))^pi-2^pi) $ dovendo farne il limite per x che tende a 1,
l'ha svolto il professore a lezione, per i termini al numeratore ha utilizzato lo sviluppo del tipo $ e^y=1+y+o(y) $ , mentre per il termine al denominatore, prima di applicare lo sviluppo del tipo $ (1+y)^alpha=1+alphay+o(y) $ ha effettuato un manipolazione per fa si che andasse a 0.
Quindi in realtà penso che mi sfugga il ragionamento di fondo, cioè in questo caso ha operato così per far si che venisse 0/0 e quindi di conseguenza applicare Taylor?
Grazie ancora
A numeratore, per poter usare il fatto che $e^y = 1 + y + o(y)$, deve aversi che $y -> 0$ (perché questo è lo sviluppo di Taylor dell'esponenziale centrato nell'origine). Nel tuo caso $y -> pi$, quindi dovrai fare un cambio di coordinate del tipo $z = x - 1$.
Questo è chiaro?
Riguardo al denominatore non mi è chiaro cosa il tuo professore ha fatto. Se hai la pazienza di riportare passaggio per passaggio ti posso dare chiarimenti.
Questo è chiaro?
Riguardo al denominatore non mi è chiaro cosa il tuo professore ha fatto. Se hai la pazienza di riportare passaggio per passaggio ti posso dare chiarimenti.
Al denominatore ha posto che poteva riscriversi come $ (2+(root(4)(x)-1))^pi $ = $ (2+(1+(root(4)(x)-1)/2))^pi $ = $ 2^pi(1+(root(4)(x)-1)/2)^pi $
e poi applica lo sviluppo del tipo $ (1+y)^alpha=1+alphay+o(y) $
terminato lo sviluppo somma e sottrae 1 alla radice per farla andare a zero.
Mi sono oscuri questi passaggi, quindi mi sembra inutile scrivere tutto quello che avviene dopo perchè sono solo procedimenti algebrici.
Grazie mille della disponibilità e scusami se sto scrivendo delle castronerie!
e poi applica lo sviluppo del tipo $ (1+y)^alpha=1+alphay+o(y) $
terminato lo sviluppo somma e sottrae 1 alla radice per farla andare a zero.
Mi sono oscuri questi passaggi, quindi mi sembra inutile scrivere tutto quello che avviene dopo perchè sono solo procedimenti algebrici.
Grazie mille della disponibilità e scusami se sto scrivendo delle castronerie!
Ah, sì. E' chiaro.
Lo stesso motivo di sopra. Lo sviluppo di $(1 + y )^alpha$ che hai scritto è valido per $y -> 0$. Con gli accorgimenti algebrici che mi hai mostrato si riconduce ad avere questa situazione.
Lo stesso motivo di sopra. Lo sviluppo di $(1 + y )^alpha$ che hai scritto è valido per $y -> 0$. Con gli accorgimenti algebrici che mi hai mostrato si riconduce ad avere questa situazione.
Esempio1: E' vero che $e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ per $x -> 0$.
Se invece $x$ tende, per esempio, a $pi$, non è più vero che $e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ .
Esempio2:
Nell'esempio che hai scritto prima non è vero che $(1 + x^(1/4) )^pi = 1 + pi x^(1/4) + o(x^(1/4))$ , perché, per $x -> 1$ , $x^(1/4) -> 1$.
$(1 + x^(1/4) )^pi = 1 + pi x^(1/4) + o(x^(1/4))$ è vero se $x -> 0$.
Se invece $x$ tende, per esempio, a $pi$, non è più vero che $e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ .
Esempio2:
Nell'esempio che hai scritto prima non è vero che $(1 + x^(1/4) )^pi = 1 + pi x^(1/4) + o(x^(1/4))$ , perché, per $x -> 1$ , $x^(1/4) -> 1$.
$(1 + x^(1/4) )^pi = 1 + pi x^(1/4) + o(x^(1/4))$ è vero se $x -> 0$.
Allora, se ho capito bene, quello che sbagliavo era non considerare che quelli che stavo usando sono sviluppi centrati in zero e che quindi dovevo accertarmi che andasse a zero l'argomento, mentre in generale non è vero che dovrei accertarmi di ciò utilizzando altri sviluppi?
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