Dubbio Taylor
ho il seguente dubbio: supponiamo di avere una funzione f(x) sviluppabile in serie di Taylor e di cui conosco lo sviluppo, ad esempio e^x, se mi si chiede di fare lo sviluppo in serie di Taylor, ad esempio di e^2x è sufficiente mettere, nello sviluppo, 2x al posto di x?? e se ho senx e mi si chiede lo sviluppo di sin(x^2) è sufficiente mettere x^2 al posto di x?? nel secondo caso, sembra che lupo grigio abbia fatto proprio questo nel mio topic "una derivata semplice semplice... III parte".
spero che qualcuno possa delucidarmi.
grazie, ubermensch
spero che qualcuno possa delucidarmi.
grazie, ubermensch
Risposte
Sì puoi farlo. In generale però devi stare attento. Se calcoli lo sviluppo di g(x) in f(x) (quindi di g(f(x))) non è detto che tutto vada bene. Supponi ad es. che g(x) sia definita solo per x positivi. Supponi poi che f(x) sia una funzione a valori negativi. Allora g(f(x)) non è definita. Il problema è che lì per lì, se non stai attento, non te ne accorgi!
perfetto...! grazie goblyn, anche per la risposta all'altro topic. quindi in generale, con un pò di attenzione, è una operazione che si può fare!
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
ah, una cosa... devi sostituire x con x^2 (o con f(x)) anche negli o piccoli...
ti ringrazio, ma non ho di questi problemi: dovendo trattare sviluppi in serie non devo fare troncamenti..
goblyn, o chi per lui:
ti dispiacerebbe darmi una giustificazione teorica del fatto che posso permettermi di sostituire, nella fattispecie, x^2 ad x??
inoltre, devo calcolare la derivata di ordine 30, risulta:
somme per k da 30 a +00 di
(-1)^k k(k-1)*.....*(k-29)*x^(4k-28)/(2k+1)!
??
oppure sto ubriaco?!
granzie ancora, ubermensch
ti dispiacerebbe darmi una giustificazione teorica del fatto che posso permettermi di sostituire, nella fattispecie, x^2 ad x??
inoltre, devo calcolare la derivata di ordine 30, risulta:
somme per k da 30 a +00 di
(-1)^k k(k-1)*.....*(k-29)*x^(4k-28)/(2k+1)!
??
oppure sto ubriaco?!
granzie ancora, ubermensch
La giustificazione è molto semplice. Bisogna solo considerare la definizione di sviluppo in serie:
g(x) =
g^(n) (0) / n! * x^n
dove la sommatoria è estesa da 0 a infinito e g^(n) (0) è la derivata n-esima di g calcolata in 0. Come si vede nell'espressione compare solo una potenza di x con esponente naturale. Quindi, a patto che x appartenga al dominio di g, va bene qualsiasi valore di x. In altri termini, va bene, al posto di x, qualsiasi funzione f(x) tale che il codominio di f(x) sia incluso o coincida col dominio di g.
Il fatto che si possa sostituire ad x una sua funzione f(x) è una specifica particolarità derivante dalle proprietà dello sviluppo in serie di potenze. Le funzioni sviluppabili sono naturalmente un sottoinsieme ristretto delle funzioni. Esse godono di alcuni "privilegi" tra cui quello qui sopra enunciato. Tutto nasce dal fatto che queste funzioni si possono esprimere come combinazione lineare (seppure infinita) di potenze (quindi funzioni moooooolto regolari) di x.
Per quella derivata... non ho tempo di controllare i calcoli. Comunque potrebbe essere giusta. Basta derivare i termini della serie (dal momento che la convergenza è uniforme). E' corretto inoltre che il primo termine della sommatoria sia per k=30.
Modificato da - goblyn il 07/04/2004 11:10:04
g(x) =
g^(n) (0) / n! * x^ndove la sommatoria è estesa da 0 a infinito e g^(n) (0) è la derivata n-esima di g calcolata in 0. Come si vede nell'espressione compare solo una potenza di x con esponente naturale. Quindi, a patto che x appartenga al dominio di g, va bene qualsiasi valore di x. In altri termini, va bene, al posto di x, qualsiasi funzione f(x) tale che il codominio di f(x) sia incluso o coincida col dominio di g.
Il fatto che si possa sostituire ad x una sua funzione f(x) è una specifica particolarità derivante dalle proprietà dello sviluppo in serie di potenze. Le funzioni sviluppabili sono naturalmente un sottoinsieme ristretto delle funzioni. Esse godono di alcuni "privilegi" tra cui quello qui sopra enunciato. Tutto nasce dal fatto che queste funzioni si possono esprimere come combinazione lineare (seppure infinita) di potenze (quindi funzioni moooooolto regolari) di x.
Per quella derivata... non ho tempo di controllare i calcoli. Comunque potrebbe essere giusta. Basta derivare i termini della serie (dal momento che la convergenza è uniforme). E' corretto inoltre che il primo termine della sommatoria sia per k=30.
Modificato da - goblyn il 07/04/2004 11:10:04
ti ringrazio goblyn! chiarissimo con una sorgente d'alta montagna
levissimo
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