Dubbio svolgimento integrale con residui

[pinkfloydian]

Salve ragazzi, ho un dubbio circa la soluzione di un integrale preso da esempio:

$ int_(0)^(pi) dt/(1+2cos(2t))=1/2int_(0)^(2pi) dx/(1+2cos(x))=1/(2i)int_(gamma)1/(z^2+z+1) dx=pi(res(f(z),-1/2+sqrt(3)/2i)+res(f(z),-1/2-sqrt(3)/2i)=0 $

La mia domanda è: perché si considera anche il residuo dell'immaginario negativo? Non dovrei considerare solo le singolarità del semipiano superiore?
Grazie mille.

[Bremen000]

Tutto dipende da come è fatta $\gamma$, cosa è per te?

[pinkfloydian]

Direi che è la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, quindi:

$1/(2i)int_(|z|=1) dz/(z^2+z+1) $

[Bremen000]

Giusto e dunque per il teorema dei residui devi calcolare i residui di tutte le singolarità che la funzione ha all'interno della regione racchiusa da $\gamma$, non c'è motivo per non considerare le singolarità che hanno parte immaginaria negativa!

[pinkfloydian]

Ok...allora è possibile che io abbia fatto confusione con il lemma di Jordan, giusto? Ma in questo caso c'entra niente e tra l'altro non è possibile applicarlo visto che l'integrale deve essere calcolato lungo una curva. Chiedo solo conferma di questo e ti ringrazio molto per l'aiuto!

[Bremen000]

Il lemma di Jordan afferma che sotto determinate ipotesi l'integrale fatto sulla semicirconferenza tende a 0 quando il suo raggio tende a 0. Questo è utile perché considerando come linea chiusa quella formata dal segmento sull'asse reale e della semicirconferenza si ha che quando il raggio tende all'infinito l'integrale su tutta la curva chiusa tende al solo integrale sulla retta reale, il che è ottimo quando si vuole calcolare un integrale reale su tutta la retta.

Nel nostro caso invece abbiamo un integrale reale fatto su un intervallo e ci siamo ricondotti al calcolo di un integrale nel campo complesso su una curva chiusa che grazie al teorema dei residui sappiamo calcolare al volo. Non c'è quindi bisogno di far tendere niente a infinito e dunque Jordan non c'entra nulla.

Spero sia chiaro!