Dubbio svolgimento della serie

[VALE014]

Salve ho svolto questa serie ma non so se è corretta :
$sum_{n=1}^{+\infty} [(2^(n-1)x^(2n-1))/(4n-3)^2] $ .
l'ho cosi svolto:
$ lim_(n -> oo) [(2^(n-1)x^(2n-1))/(4n-3)^2] $ = $ lim_(n -> oo) (2^(n-1)/(4n-3)^2)*x^(2n-1)$
$ lim_(n -> oo ) 2^n/(4n-2)^2*(2(4n-3)^2/2^n)=2 $
ed uso il metodo del raggio di convergenza : $R=1/2*|x^(2n)|<1/2$
$ rArr -sqrt(1/2) spero in una risposta grazie in anticipo.
PS:nel caso in cui è stata fatta bene può finire in questa maniera?

[pilloeffe]

Ciao VALE0,

"VALE0":Salve ho svolto questa serie ma non so se è corretta :

No, è errata... Osserverei che si ha:

$sum_{n=1}^{+\infty} [(2^(n-1)x^(2n-1))/(4n-3)^2] = frac{1}{2x} sum_{n=1}^{+\infty} (2x^2)^n/(4n-3)^2 $

Applicando il criterio del rapporto all'ultima serie scritta, che è a termini positivi grazie al quadrato, si trova facilmente che essa converge per $2x^2 < 1 \implies - sqrt{2}/2 < x < sqrt{2}/2 \iff |x| < sqrt{2}/2 $
Con una breve indagine supplementare si scopre che in realtà la serie proposta converge anche per $|x| = sqrt{2}/2 $, infatti per $2x^2 < 1 $ si ha:

$ sum_{n=1}^{+\infty} (2x^2)^n/(4n-3)^2 < sum_{n=1}^{+\infty} 1/(4n-3)^2 = 1/2 C + (pi/4)^2 $

ove $C = 0,915965594177219015054603514932384110774... $ è la costante di Catalan.

[VALE014]

grazie