Dubbio sull'uso di Taylor

[Silence1]

Buondì, ho un limite da svolgere e un dubbio non tanto sul come farlo, ma sul "fino a dove".

Il limite è:

$lim_(x->0)(e^x-sinx-cosx)/(e^(x^2)-e^(x^3))$

Dunque, per quanto ho imparato finora, Taylor è necessario (può anche essere usato altrove, ma qui serve proprio) quando la somma algebrica dei i primi termini non nulli degli sviluppi delle funzioni in gioco determinano la forma indeterminata $0/0$, e qui succede sia a numeratore che a denominatore.
Il mio problema è che per quanto ne so, l'ordine di sviluppo a cui ci si dovrebbe fermare è il secondo non nulla, cioè l'ordine superiore a quello che determina l'annullamento. Dunque, siccome sviluppate abbiamo(le fermo tutte allo stesso ordine e scrivo anche i termini nulle per comodità di confronto):

$e^x = 1+x+x^2/2+x^3/6 $

$-sinx= -(0+x+0-x^3/6)$

$-cosx= -(1+0-x^2/2+0)$

Qui sorgono i miei dubbi, mi servirebbe un po' di chiarificazione.
La soluzione è

$((1+x+x^2/2+o(x^2))-(x+o(x^2))-(1-x^2/2+o(x^3)))/((1+x^2+o(x^2))-(1+x^3+o(x^3)))$

ma non capisco perchè si ferma proprio a quegli ordini, non corrisponde con la spiegazione che ho avuto a lezione.
Espongo il mio ragionamento, magari l'errore è più banale di quel che credo:

- il primo ordine non nullo (che non viene nemmeno annullato da una somma algebrica) di $e^x$ è $x^2/2$, e fin qui ok (perchè $x$ si elide con il primo ordine di $-sinx$
- il primo ordine di $-sinx$ dunque si annulla, ma perchè allora non prosegue, pur aggiungendo $o(x^2)$? So che il secondo ordine di $sinx$ è nullo, però allora perchè $o(x^2)$?
- stesso discorso per $-cosx$, il primo ordine che non annulla è il secondo, ma allora perchè $o(x^3)$?

Grazie infinite a chiunque abbia la pazienza di aiutarmi a fare chiarezza.

[@melia]

Ciao Silence, non credo che tu abbia bisogno di chiarificazione , che di solito si usa per il brodo, il burro o il vino, piuttosto di chiarezza o di un chiarimento.
La regola del secondo non nullo non è una regola fissa, è utile perché così uno non si mette a scrivere 10 termini inutili o non si ferma troppo presto, ma devi solo stare attento che non si elimino tutti i termini contenenti le variabili, a causa delle sottrazioni. Certo, nello sviluppo del seno scrivere che si tratta di un $o(x^3)$ anzichè un $o(x^2)$ è la stessa cosa, come giustamente osservi tu, perché il termine in $x^2$ è nullo.

[Silence1]

"@melia":Ciao Silence, non credo che tu abbia bisogno di chiarificazione , che di solito si usa per il brodo, il burro o il vino, piuttosto di chiarezza o di un chiarimento.

chiarificazione m sing (pl: chiarificazioni)

1 atto del chiarificare, rendere chiaro
2 (senso figurato) chiarimento, spiegazione

Facciam finta che volessi intenderlo in senso figurato e che una notte passata a studiare non mi abbia fatto un cattivo effetto e mi sia dimenticato come ci si esprime...

In ogni caso, grazie mille per la risposta, ma mi rimane un dubbio: siccome il primo sviluppo non nullo del seno effettivamente si annulla algebricamente col primo sviluppo di $e^x$, perchè lo sviluppo del seno non prosegue?
Invece per quanto riguarda il coseno avrei potuto scrivere $o(x^2)$?

Ancora grazie per la pazienza

[Papercut]

Ciao Silence, lo sviluppo del seno si ferma al primo ordine perché tutti i termini successivi dello sviluppo sono già impliciti in $ o(x^2) $ sviluppare ulteriormente il seno non sarebbe sbagliato, ma sicuramente inutile al fine della risoluzione del limite.

[Silence1]

Ma il primo ordine del seno viene algebricamente annullato dal primo ordine di $e^x$, per quanto mi è parso di capire bisognerebbe procedere oltre?

[Papercut]

Non ti serve procedere oltre, in quanto, come puoi vedere $ x^2/2 $ non viene annullato

[Silence1]

Scusami se sono insistente, fin qui ci sono, ma allora perchè lo sviluppo del coseno procede oltre?

[francicko]

Al fine del calcolo del limite devi prendere in considerazione , i termini in $x $ di grado più basso, che non si elidono nelle somme algebriche, a numeratore così come a denominatore, il resto dei termini , che hanno un grado più elevato sono trascurabili nella somma algebrica in quanto vanno a zero più velocemente, e per comodità descrittiva vengono racchiusi nel segno o-piccolo, ritornando al nostro limite, i primi termini in $x $ a non annullarsi a numeratore sono $(x^2/2-(-x^2/2))$, i termini di grado piu elevato che vengono dopo e sono racchiusi in $o (x^2) $ risultano trascurabili e quindi ininfluenti ai fini del calcolo del limite, mentre a denominatore come termine che non si annulla abbiamo $x^2$, ed idem con $o(x^2) $ indichiamo i termini di grado superiore trascurabili e quindi ininfluenti ai fini del calcolo, quindi il limite sarà $lim_(x->0)(x^2)/(x^2)=1$
Lo sviluppo del coseno non procede oltre ma si arresta ad $cosx=1-x^2/2+o (x^2) $

[Silence1]

Perfetto, ti ringrazio infinitamente. Quello che mi mandava in confusione era quel $o(x^3)$ nello sviluppo del coseno, perché appunto lo vedevo fermo al secondo ordine. Torna tutto. Ancora grazie.