Dubbio sull'uniforme convergenza
In un esercizio d'esame è chiesto:
" Calcolare le somme e studiare l'uniforme convergenza della serie (1)
$\sum_{n=0}^{+\infty} [e^{-n^2x^2}-e^{-(n+1)^2x^2}]$
e quella della serie ottenuta derivando la (1). Discutere poi del teorema di derivazione per serie"
La serie (1) è telescopica e la successiome delle somme parziali vale
$s_{m}=1-e^{-(m+1)^2x^2}$
la quale converge puntualmente a $1$ in tutto $\RR$. Inoltre non vi è convergenza uniforme su $\RR$ dato che
$\sup_{x\in\RR} |s_{m}(x)-1| = \sup_{x\in\RR} e^{-(m+1)x^2}=1$
Il dubbio che ho è questo: abbiamo una successione ($s_{m}$) fatta da funzioni continue, convergenti puntualmente a una funzione continua e tali che $s_{m+1}(x)\le s_{m} (x)$ $\forall x\in \RR$. Dovremmo essere nelle ipotesi del primo teorema di Dini (https://it.m.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Dini) [so che la condizione $s_{m}\le s_{m+1}$ può essere rimpiazzata da $s_{m} \ge s_{m+1}$. L'importante è che ${s_{m}}_{m}$ sia monotona] il quale assicura la concergenza uniforme.
Queste due cose insieme dovrebbero dirmi che c'è convergenza uniforme solo in compatti?
(Risolto questo, avrei altri dubbi in merito all'esercizio)
Grazie anticipatamente!
" Calcolare le somme e studiare l'uniforme convergenza della serie (1)
$\sum_{n=0}^{+\infty} [e^{-n^2x^2}-e^{-(n+1)^2x^2}]$
e quella della serie ottenuta derivando la (1). Discutere poi del teorema di derivazione per serie"
La serie (1) è telescopica e la successiome delle somme parziali vale
$s_{m}=1-e^{-(m+1)^2x^2}$
la quale converge puntualmente a $1$ in tutto $\RR$. Inoltre non vi è convergenza uniforme su $\RR$ dato che
$\sup_{x\in\RR} |s_{m}(x)-1| = \sup_{x\in\RR} e^{-(m+1)x^2}=1$
Il dubbio che ho è questo: abbiamo una successione ($s_{m}$) fatta da funzioni continue, convergenti puntualmente a una funzione continua e tali che $s_{m+1}(x)\le s_{m} (x)$ $\forall x\in \RR$. Dovremmo essere nelle ipotesi del primo teorema di Dini (https://it.m.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Dini) [so che la condizione $s_{m}\le s_{m+1}$ può essere rimpiazzata da $s_{m} \ge s_{m+1}$. L'importante è che ${s_{m}}_{m}$ sia monotona] il quale assicura la concergenza uniforme.
Queste due cose insieme dovrebbero dirmi che c'è convergenza uniforme solo in compatti?
(Risolto questo, avrei altri dubbi in merito all'esercizio)
Grazie anticipatamente!
Risposte
Ciao! Sei sicuro che ${s_m}_(m inNN)$ converga ad $1$ su tutto $RR$? Cosa succede in $x=0$
Chiaramente non può convergere uniformemente su $RR$ poiché la funzione limite è discontinua e la successione è di funzioni continue. Però puoi provare a vedere la convergenza su insiemi che non contengono l’origine nella chiusura
Grazie per la risposta
Hai ragione, in $0$ la serie converge a $0$ e il limite non è continuo e quindi non è uniforme. In ogni caso, Dini mi dovrebbe dire che in qualche compatto $[a,b]$ con $a>0$ ho convergenza uniforme, giusto? Anche se fosse vero non saprei peroò come trovarlo...
Edit: ho cancellato per formulare una risposta più corretta, comunque prpvo, grazie!
Hai ragione, in $0$ la serie converge a $0$ e il limite non è continuo e quindi non è uniforme. In ogni caso, Dini mi dovrebbe dire che in qualche compatto $[a,b]$ con $a>0$ ho convergenza uniforme, giusto? Anche se fosse vero non saprei peroò come trovarlo...
Edit: ho cancellato per formulare una risposta più corretta, comunque prpvo, grazie!
Non devi usare per forza il dini considerando che
$norm(s_m-s)=s u p_(x in [a,b])e^(-(m+1)x^2)$ è abbastanza facile da trovare
Considera la funzione $d_m(x)=e^(-(m+1)x^2)$ e fai uno studio minimo per trovare il $max$
$norm(s_m-s)=s u p_(x in [a,b])e^(-(m+1)x^2)$ è abbastanza facile da trovare
Considera la funzione $d_m(x)=e^(-(m+1)x^2)$ e fai uno studio minimo per trovare il $max$
Forse mi è venuta un'idea. Se prendo $[a,b]$, con $a>0$ come dicevo, ho
$s_{m}(x)\le s_{m}(a)=e^{-(m+1)^2a^2}$
Questa quantità per $m\to +\infty$ tende a $0$ e la convergenza è uniforme in ogni intervallo $[a,+\infty)$ con $a>0$. Date le simetrie ho poi convergenza uniforme in $(-\infty,a] \cup [a,+\infty)$
Hai ragione è meglio lascia perdere Dini
$s_{m}(x)\le s_{m}(a)=e^{-(m+1)^2a^2}$
Questa quantità per $m\to +\infty$ tende a $0$ e la convergenza è uniforme in ogni intervallo $[a,+\infty)$ con $a>0$. Date le simetrie ho poi convergenza uniforme in $(-\infty,a] \cup [a,+\infty)$
Hai ragione è meglio lascia perdere Dini
Ora ho un problema con la serie derivata
$\sum_{n=0}^{+\infty} [(n+1)^{2}e^{-(n+1)^{2}x^{2}}-n^2e^{-n^{2}x^{2}}]$
Questa volta risulta
$ S_{m}(x)=2xe^{-(m+1)^{2}x^{2}}$
Ma $\forall m\in\NN$
$\max_{x\in\RR^+} S_{m} = \sqrt{2}(m+1)e^{-\frac{1}{2}}$
Per $m\to +\infty$ tale massimo tende a $+\infty$ e non c'è convergenza uniforme su $\RR^+ \cup{0}$. Ora se mi metto su un compatto $[a,b]$ con $a>0$ posso supporre come prima
$S_m(x)\le S_{m}(a)$
(questo perchè il punto di massimo converge a 0) come prima questa quantità tende a 0 e ho uniforme concergenza $\RR^+$. Eppure c'è qualcosa che non mi convince
$\sum_{n=0}^{+\infty} [(n+1)^{2}e^{-(n+1)^{2}x^{2}}-n^2e^{-n^{2}x^{2}}]$
Questa volta risulta
$ S_{m}(x)=2xe^{-(m+1)^{2}x^{2}}$
Ma $\forall m\in\NN$
$\max_{x\in\RR^+} S_{m} = \sqrt{2}(m+1)e^{-\frac{1}{2}}$
Per $m\to +\infty$ tale massimo tende a $+\infty$ e non c'è convergenza uniforme su $\RR^+ \cup{0}$. Ora se mi metto su un compatto $[a,b]$ con $a>0$ posso supporre come prima
$S_m(x)\le S_{m}(a)$
(questo perchè il punto di massimo converge a 0) come prima questa quantità tende a 0 e ho uniforme concergenza $\RR^+$. Eppure c'è qualcosa che non mi convince
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