Dubbio sull'ordine degli infinitesimi!
Buonasera, ho provato a fare alcuni esercizi questo pomeriggio e mi sono trovato in difficoltà su uno di questi!
$g (x)$ $ = $ $(cos x^2)^(-2) + P(x)$
Determinare il polinomio P(x), di grado minimo, tale che g(x) sia di ordine maggiore di 8, per x-->0
Io ho utilizzato gli sviluppi di Mac Laurin (o Mc Laurin.. ancora devo capire il nome
), sono arrivato a scrivere:
$g (x)$ $=$ $1 + x^4 - x^8/12 + o(x^8) + P(x) $
Allora ho pensato che $P(x) = -1 -x^4 + x^8/12$ fosse giusto, invece il libro fa una cosa leggermente diversa!
Praticamente io ho usato lo sviluppo del coseno e dell'esponenziale, è la stessa cosa che fa il libro ma quando usa quello dell'esponenziale non si ferma al secondo termine.. arriva al terzo!
In questo modo ottiene $x^8 / 4 + x^16/24 + o(x^16)$ in più a quello che già avevo trovato io, va a sommare i termini con $x^4 $ e $ x^8$, mette un $o(x^8)$ e se ne frega di x^16.
Ho capito il procedimento che usa ed è legittimo.. ma perchè lo fa? Perchè è sbagliato fermarsi al punto dove mi sono fermato io?
Inoltre non ho capito bene cos'è il coefficiente binomiale normalizzato!
Qualcuno mi può illuminare su quanto ho scritto precedentemente? Grazie mille in anticipo!!
$g (x)$ $ = $ $(cos x^2)^(-2) + P(x)$
Determinare il polinomio P(x), di grado minimo, tale che g(x) sia di ordine maggiore di 8, per x-->0
Io ho utilizzato gli sviluppi di Mac Laurin (o Mc Laurin.. ancora devo capire il nome
), sono arrivato a scrivere:$g (x)$ $=$ $1 + x^4 - x^8/12 + o(x^8) + P(x) $
Allora ho pensato che $P(x) = -1 -x^4 + x^8/12$ fosse giusto, invece il libro fa una cosa leggermente diversa!
Praticamente io ho usato lo sviluppo del coseno e dell'esponenziale, è la stessa cosa che fa il libro ma quando usa quello dell'esponenziale non si ferma al secondo termine.. arriva al terzo!
In questo modo ottiene $x^8 / 4 + x^16/24 + o(x^16)$ in più a quello che già avevo trovato io, va a sommare i termini con $x^4 $ e $ x^8$, mette un $o(x^8)$ e se ne frega di x^16.
Ho capito il procedimento che usa ed è legittimo.. ma perchè lo fa? Perchè è sbagliato fermarsi al punto dove mi sono fermato io?
Inoltre non ho capito bene cos'è il coefficiente binomiale normalizzato!
Qualcuno mi può illuminare su quanto ho scritto precedentemente? Grazie mille in anticipo!!
Risposte
Forse perché la richiesta è che il grado sia "Maggiore" di 8? 
E quindi? Dicendo che $P(x) = -1 -x^4 + x^8/12$ mi viene g(x) di grado superiore ad 8! Perchè vado ad eliminare tutti gli elementi con grado minore o uguale ad 8 ma ho un $o(x^8)$, quindi ho altri elementi con grado maggiore di 8.
E comunque poi il libro non riporta il termine con $x^16$, ottenendo un polinomio simile al mio, con solo i coefficienti diversi!
E comunque poi il libro non riporta il termine con $x^16$, ottenendo un polinomio simile al mio, con solo i coefficienti diversi!
devi sempre controllare se le funzioni proseguono ed hanno altre parti utili, se l'esponenziale ha parti utili anche in x^16 devi considerarle...ovviamente poi non considererai x^16 però le altre parti si!
Effettivamente andando avanti ottiene tutti numeri con grado maggiore di 8, quindi sarebbe inutile continuare con lo sviluppo di Mac Laurin dato che ha già considerato tutti i numeri di grado minore o uguale a 8!
Ti ringrazio.. mi era sfuggita questa cosa
Ti ringrazio.. mi era sfuggita questa cosa
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