Dubbio sullo svolgimento di un banale integrale doppio

[curiosone1]

Ciao ragazzi, mi viene il dubbio sul calcolo di un banale integrale doppio.
$ f(x,y) = ye^(x) + 3cos(y)sin(x) + 2 arctan(x) $
Sottoposta al dominio:
$ (-1<=x<=1) nn (1 <= y <= 0) nn y>=sqrt(abs(x)) $

Ho disegnato il dominio: dominio pari! Il dominio è rappresentato da un una sorta di triangolo con i lati obliqui e il vertice in (0,0).
Allora posso dire che:
Integrale di $ 3cos(y)sin(x)$ = 0 (perché è complessivamente una funzione dispari e se integrata sul dominio pari è nulla)
Integrale di $ 2 arctan(x)$ = 0 (perché arctan(.) è una funzione dispari e se integrata sul dominio pari è nulla)
(fino qui tutto giusto, vero?)

Tutto si riduce a: $ f(x,y) = ye^(x) $
Divido il dominio in due parti: ALFA + BETA (ALFA= parte di dominio a sinistra dell'asse y, BETA duale)

Qui mi sorge il dubbio: Come metto gli estremi di integrazione?
Per ALFA:
Penso alla x: variazione: -1 <= x <= 0
Penso alla y: variazione: sqrt(-x) <= y <= 0
Mi viene da scrivere e risolvere:
$ int_(-1)^(0) (int_(sqrt(-x))^(0) y*e^x dx) dy = int_(sqrt(-x))^(0) y*(int_(-1)^(0) e^x dx) dy $
$ int_(sqrt(-x))^(0) y*(1-e^(-1)) dy = (1-e^(-1))*int_(sqrt(-x))^(0) y dy $
$ (1-e^(-1))*int_(sqrt(-x))^(0) y dy = -1/2+ e^(-1) $

Per BETA:
Penso alla x: variazione: 0 <= x <= 1
Penso alla y: variazione: 0 <= y <= sqrt(x)
Mi viene da scrivere e risolvere:
$ int_(0)^(1) (int_(0)^(sqrt(x)) y*e^x dx) dy = 1/2 $

Quindi ALFA + BETA = e^(-1) mentre la soluzione mi dice: -1+cosh(1).

Sbaglierò sicuramente gli estremi di integrazione... Potreste indicarmi l'esatta dinamica? Grazie!

[otta96]

In realtà il dominio, scritto così, è l'insieme vuoto!

[giowre92]

Forse c' è un errore nella traccia . Se fosse $ 0=sqrt|x| $