Dubbio sullo studio della differenziabilità
Salve,
data la funzione [tex]f(x,y) = \begin{cases}xy\log (xy) & xy>0\\ 0 & xy \le 0 \end{cases}[/tex]
Non ho capito perchè nel calcolare il rapporto incrementale rispetto ad $y$ nel punto $(x_0,y):x_0\ne 0$, ossia:
$\frac{f(x_0,y)-f(x_0,0)}{y}$ la prof sostituisce $f(x_0,y)$ con $f(x,y)=xy\log(xy)$ (cioè la prima legge). Me lo chiedo perchè secondo me anche se $x_0y\ne 0$ potrebbe ancora essere $x_0y<0$ , no?
data la funzione [tex]f(x,y) = \begin{cases}xy\log (xy) & xy>0\\ 0 & xy \le 0 \end{cases}[/tex]
Non ho capito perchè nel calcolare il rapporto incrementale rispetto ad $y$ nel punto $(x_0,y):x_0\ne 0$, ossia:
$\frac{f(x_0,y)-f(x_0,0)}{y}$ la prof sostituisce $f(x_0,y)$ con $f(x,y)=xy\log(xy)$ (cioè la prima legge). Me lo chiedo perchè secondo me anche se $x_0y\ne 0$ potrebbe ancora essere $x_0y<0$ , no?
Risposte
Mmh, anche io avrei separato i due casi, a dire la verità.
Forse credo di aver capito da solo 
:
In pratica siccome il rapporto incrementale lo si fa rispetto ad un punto diverso da quello che si sta esaminando e siccome qualsiasi punto $(x_0,y)$ è diverso da un qualsiasi punto tale che $xy=0$ come ad esempio $(x_0,0)$ allora certamente $y$ dovrà essere tale che $(x_0,y)\ne 0$ e per un punto così fatto vale la prima legge.
:In pratica siccome il rapporto incrementale lo si fa rispetto ad un punto diverso da quello che si sta esaminando e siccome qualsiasi punto $(x_0,y)$ è diverso da un qualsiasi punto tale che $xy=0$ come ad esempio $(x_0,0)$ allora certamente $y$ dovrà essere tale che $(x_0,y)\ne 0$ e per un punto così fatto vale la prima legge.
Eh? Ma tu devi calcolare la derivata in $(x_0,y)$ o in $(x_0,0)$? Perché il rapporto incrementale che hai scritto vale per il secondo punto. In ogni caso, la prima legge vale per $xy>0$.
Sì ma converrai anche tu che $(x_0,y)\ne (x_0,0)$ (altrimenti che incremento è? 
) ed è analogo all'incremento della funzione a singola variabile $h(y)-h(0)$.
Con $x_0\ne 0$ e con $y\ne 0$ si esclude l'eventualità che $x_0y=0$ e quindi dobbiamo trovarci per forza nel primo insieme.
PS: Comunque in $(x_0,0)$ la devo calcolare
) ed è analogo all'incremento della funzione a singola variabile $h(y)-h(0)$.Con $x_0\ne 0$ e con $y\ne 0$ si esclude l'eventualità che $x_0y=0$ e quindi dobbiamo trovarci per forza nel primo insieme.
PS: Comunque in $(x_0,0)$ la devo calcolare
Sì, ovviamente $y!=0$ perché è il tuo incremento. Ma devi considerare sia incrementi positivi che negativi. Inoltre, il segno dipende anche da $x_0$.
Se dovessi calcolare la derivata in $(-1,2)$ il rapporto incrementale sarebbe nullo.
Se dovessi calcolare la derivata in $(-1,2)$ il rapporto incrementale sarebbe nullo.
Si nel punto che dici tu il rapporto incrementa è nullo, ma se tu ti devi mettere su un insieme in cui $xy\ne 0$ devi scegliere per forza il primo.
Perchè? Nel mio caso $xy=-2!=0$ però è negativo, quindi il valore della funzione è nullo. Non ho capito il tuo ragionamento, o ho letto male qualcosa.
Ricapitoliamo:
Calcolo il rapporto incrementale rispetto ad $y$ nel generico punto $(x_0,0)$ con $x_0\ne 0$: $\frac{f(x_0,y)-f(x_0,0)}{y}$
Il ragionamento è questo: poichè si presume che $(x_0,y)\ne (x_0,0)$ essendo l'ascissa la stessa ed inoltre $x_0\ne 0$ , affinchè possa risultare $(x_0,y)\ne (x_0,0)$ dovrà necessariamente accadere che $y\ne 0$.
Il punto $(x_0,0)$ è un punto tale che anche con $x_0\ne 0$ si ha comunque che $xy=0$; invece per ciò che ho detto prima, con qualsiasi altro punto $(x_0,y)$ e con $y\ne 0$ si ha $xy\ne 0$.
Allora devo pensare la funzione definita in un insieme in cui il prodotto $xy$ non è mai nullo.
Quello è il primo insieme.
Calcolo il rapporto incrementale rispetto ad $y$ nel generico punto $(x_0,0)$ con $x_0\ne 0$: $\frac{f(x_0,y)-f(x_0,0)}{y}$
Il ragionamento è questo: poichè si presume che $(x_0,y)\ne (x_0,0)$ essendo l'ascissa la stessa ed inoltre $x_0\ne 0$ , affinchè possa risultare $(x_0,y)\ne (x_0,0)$ dovrà necessariamente accadere che $y\ne 0$.
Il punto $(x_0,0)$ è un punto tale che anche con $x_0\ne 0$ si ha comunque che $xy=0$; invece per ciò che ho detto prima, con qualsiasi altro punto $(x_0,y)$ e con $y\ne 0$ si ha $xy\ne 0$.
Allora devo pensare la funzione definita in un insieme in cui il prodotto $xy$ non è mai nullo.
Quello è il primo insieme.
Vabbè, ma anche se è $xy$ non è nullo, il valore della funzione cambia a seconda della positività o della negatività di $xy$.
Almeno per come hai definito la funzione, essa è sempre nulla quando quel prodotto (anche se non è nullo) è negativo.
Almeno per come hai definito la funzione, essa è sempre nulla quando quel prodotto (anche se non è nullo) è negativo.
Ma quando quel prodotto è negativo ci troviamo in un insieme in cui c'è anche la possibilità di "cadere" in $xy=0$ cosa che dobbiamo evitare.
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