Dubbio sullo studio della convergenza uniforme
Buongiorno a tutti,
non mi è ben chiaro quale sia il procedimento più efficiente per trovare il $"sup"|f_n(x)-f(x)|$ nello studio della convergenza uniforme.
Ad esempio, se $f_n = sin(nx)/n$ con $x in I=[0,1]$, dovrei calcolare $f'_n = 1/n*d/dx|sin(nx)|$ e studiarne l'andamento, dico bene? So che il seno è una funzione dispari, ma come potrei sfruttare tale proprietà? E in ogni caso, mi converrebbe? Studiando la derivata senza valutare la positività avrei $f'_n = sin(2nx)/(2|sin(nx)|)$ e lo studio della monotonia risulterebbe decisamente banale.
In generale faccio molta confusione e non riesco a muovermi con faciltà come dovrei. Che suggerimenti avete?
Grazie a tutti in anticipo!
non mi è ben chiaro quale sia il procedimento più efficiente per trovare il $"sup"|f_n(x)-f(x)|$ nello studio della convergenza uniforme.
Ad esempio, se $f_n = sin(nx)/n$ con $x in I=[0,1]$, dovrei calcolare $f'_n = 1/n*d/dx|sin(nx)|$ e studiarne l'andamento, dico bene? So che il seno è una funzione dispari, ma come potrei sfruttare tale proprietà? E in ogni caso, mi converrebbe? Studiando la derivata senza valutare la positività avrei $f'_n = sin(2nx)/(2|sin(nx)|)$ e lo studio della monotonia risulterebbe decisamente banale.
In generale faccio molta confusione e non riesco a muovermi con faciltà come dovrei. Che suggerimenti avete?
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
"RP-1":
Che suggerimenti avete?
Quello solito che do ai miei studenti: "usa quei begli occhi che ti hanno messo in faccia i tuoi genitori"...
Ovvero, osserva attentamente il problema e poi decidi che fare.
In questo caso conviene maggiorare, piuttosto che impelagarsi in conti da Calcolo Differenziale.
Infatti, dato che il limite puntuale della successione è la funzione ovunque nulla $f(x)=0$, hai:
$AA x in RR,\ |f_n(x) - f(x)| = |sin (nx)|/n \leq 1/n$
e ciò ti mostra che la convergenza è uniforme su tutto $RR$.
In effetti bisognerebbe pensare qualche secondo in più prima di procedere con i calcoli, alla fine quel che si cerca è il concetto e non il valore. Grazie dell'input!!
Supponiamo debba calcolare la convergenza puntuale di $f_n = nxe^(-nx)$ con $x in I=[0,1]$ e stabilire se sia anche uniforme.
$f_n$ converge puntualmente ad $f(x) = 0$ su $I$, ma poiché $"inf "f_n(x) = -infty$ allora $"sup"|f_n(x)| = +infty$ e quindi non converge uniformemente. Il ragionamento che ho seguito è corretto? Avrei potuto procedere in modo diverso?
$f_n$ converge puntualmente ad $f(x) = 0$ su $I$, ma poiché $"inf "f_n(x) = -infty$ allora $"sup"|f_n(x)| = +infty$ e quindi non converge uniformemente. Il ragionamento che ho seguito è corretto? Avrei potuto procedere in modo diverso?
Come fa ad essere $"inf" f_n = -oo$ in $[0,1]$??? 
Chiedo venia, ho detto un'assurdità... Dunque, risulta $f_n>=0\ AAx\in[0,1]$ e quindi $"sup"|f_n|="sup "f_n$.
$f'_n=(n e^(nx)(1-nx))/(e^(2nx))$ e dunque il massimo vale $f_n(1/n)=1/e$, per cui la convergenza non può essere uniforme, giusto?
$f'_n=(n e^(nx)(1-nx))/(e^(2nx))$ e dunque il massimo vale $f_n(1/n)=1/e$, per cui la convergenza non può essere uniforme, giusto?
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