Dubbio sulle successioni di Cauchy
Salve.Dopo aver continuato un po' a studiare sono arrivato a un argomenti che non mi è molto chiaro:"le successioni di Cauchy";in pratica,il mio dubbio è:"Come si determina se una successione sia o meno di Cauchy ?".Ho riprovato a rileggere la definizione,ma non mi è molto chiara.Se non vi reca disturbo,potreste spiegarmi questo concetto,magari con un esempio?
Risposte
La proprieta' che caratterizza le successioni di Cauchy e' "interna" alla successione, cioe' riguarda solo gli elementi della successione stessa e non un eventuale limite o altro. In parole semplici ti dice che gli elementi della successione sono sempre piu' vicini tra loro. La convergenza delle successioni di Cauchy (completezza) e' un fatto vero in $\mathbb R$ per definizione di fatto.
Grazie,quindi se ho capito bene,una successione si dice di Cauchy se la distanza fra un suo elemento e il successivo,diminuisce fino a tendere a 0(se la successione è infinita)?
Si.
Grazie dell'aiuto;se non è chiedere troppo,il libro definisce anche il concetto di spazio metrico completo,ma non capisco come verificare che ogni successione di Cauchy converga,potresti,per favore,se non ti reca disturbo,spiegarmi come fare?
Non esiste un criterio generale per dimostrare la completezza, ma di fatto essa si riduce sempre a qualcosa che sai essere completo, e cosi' facendo scendi fino a $\mathbb R$ dove la completezza c'e' per definizione.
Grazie,quindi uno spazio devo "metterlo in relazione" con $RR$,per capire se sia o meno completo?
Non necessariamente, dovresti vedere degli esempi concreti per capire, quello che volevo dire e' che non ci sono dimostrazioni di completezza "dirette", bensi' scava e scava tutto si riconduce alla completezza di $\mathbb R$. Per esempio, anche se un po' complicato per te: lo spazio delle funzioni continue su $[0,1]$ e' completo rispetto alla norma del sup, cioe' $||f||_\infty=\max|f|$. Per vedere che e' completo devi di fatto mostrare che per $h,k$ grandi vale $||f_h-f_k||_\infty<\varepsilon$. Ma per definizione per ogni $x\in [0,1]$ hai $|f_h(x)-f_k(x)|\le||f_h-f_k||_\infty<\varepsilon$ e dunque ${f_h(x)}$ e' una successione di Cauchy in $\mathbb R$ e dunque converge a qualcosa che chiami $f(x)$. Poi si va avanti dimostrando che la funzione che hai ottenuto e' limite uniforme di $f_h$.
Grazie,penso di aver capito,anche se penso sia,almeno per ora,un po' fuori dalla mia portata
"mklplo":
Grazie,quindi se ho capito bene,una successione si dice di Cauchy se la distanza fra un suo elemento e il successivo,diminuisce fino a tendere a 0(se la successione è infinita)?
Un momento,questo è sbagliato. Non è la distanza tra un elemento e il successivo ma la distanza tra un elemento è *tutti* i successivi.
Se considerassimo solo la distanza tra un elemento e il successivo allora $\log n$ sarebbe una successione di Cauchy.
Grazie,ma il fatto che la distanza fra un elemento e il suo successivo,se la successione è limitata,non implica anche che la distanza tra un elemento e tutti i suoi successivi faccia lo stesso?
"mklplo":
Grazie,ma il fatto che la distanza fra un elemento e il suo successivo,se la successione è limitata,non implica anche che la distanza tra un elemento e tutti i suoi successivi faccia lo stesso?
Questo si, ma ciò che non è vero è che se la distanza tra un punto e il successivo tende a $0$, allora la successione è limitata.
ah,ok,grazie per il chiarimento
"otta96":
[quote="mklplo"]Grazie,ma il fatto che la distanza fra un elemento e il suo successivo,se la successione è limitata,non implica anche che la distanza tra un elemento e tutti i suoi successivi faccia lo stesso?
Questo si
[/quote]
Sicuro?
Grazie,non avevo proprio pensato a questo.
, bellino quel controesempio.
In realtà, anche senza avere tanta abilità nel costruire controesempi, si può facilmente vedere che la condizione \(|x_{n}-x_{n-1}|\to 0\) non può mai essere sufficiente alla convergenza. Se definiamo
\[
a_n=\begin{cases} x_n-x_{n-1}, &n>0 \\ x_0, & n=0,\end{cases}
\]
allora
\[
x_n=\sum_{k=0}^n a_k, \]
e la convergenza di \((x_n)\) è equivalente alla convergenza della serie \(\sum_{k=0}^\infty a_k\). Richiedere che \(|x_n-x_{n-1}|\to 0\) equivale a richiedere che \(a_k\to 0\), ovvero che il termine generale della serie sia infinitesimo. E questa condizione, come si studia grosso modo in tutti i corsi di analisi, non è sufficiente alla convergenza.
\[
a_n=\begin{cases} x_n-x_{n-1}, &n>0 \\ x_0, & n=0,\end{cases}
\]
allora
\[
x_n=\sum_{k=0}^n a_k, \]
e la convergenza di \((x_n)\) è equivalente alla convergenza della serie \(\sum_{k=0}^\infty a_k\). Richiedere che \(|x_n-x_{n-1}|\to 0\) equivale a richiedere che \(a_k\to 0\), ovvero che il termine generale della serie sia infinitesimo. E questa condizione, come si studia grosso modo in tutti i corsi di analisi, non è sufficiente alla convergenza.
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