Dubbio sulle somme superiori ed inferiori
Salve,
non riesco ancora a capire se data una funzione Riemann integrabile su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, l'insieme delle somme superiori e l'insieme delle somme inferiori per ogni partizione appartenente all'insieme delle parti di $[a,b]$, sono o meno due classi separate.
non riesco ancora a capire se data una funzione Riemann integrabile su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, l'insieme delle somme superiori e l'insieme delle somme inferiori per ogni partizione appartenente all'insieme delle parti di $[a,b]$, sono o meno due classi separate.
Risposte
Scrivi la definizione (di somma inferiore e superiore) e risponditi da solo... 
"Orlok":
Salve,
non riesco ancora a capire se data una funzione Riemann integrabile su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, l'insieme delle somme superiori e l'insieme delle somme inferiori per ogni partizione appartenente all'insieme delle parti di $[a,b]$, sono o meno due classi separate.
prendiamo [tex]$f : [a,b] -> R$[/tex]
Se chiamiamo
[tex]$A_f =$[/tex] [tex]$\{s(f,P)[/tex] [tex]| P[/tex] partizione di [tex]$ [a,b]\}$[/tex]
[tex]$B_f =$[/tex] [tex]$\{S(f,P)[/tex] [tex]| P[/tex] partizione di [tex]$ [a,b]\}$[/tex]
dove [tex]$s(f,P)$[/tex] e [tex]$S(f,P)$[/tex] sono, rispettivamente, la somma inferiore della funzione relativa alla partizione [tex]$P$[/tex] e la somma superiore.
Essi sono insiemi separati, cioè, detto in parole povere: ogni elemento di [tex]$A_f$[/tex] è sempre minore di un qualunque elemento di [tex]$B_f$[/tex]
Formalmente, devi ricordare che:
[tex]$\forall P$[/tex] partizione di [tex]$[a,b] : s(f,P) \le S(f,P)$[/tex]
Premesso ciò,sono sicuro che saprai dimostrarlo e risponderti da solo:
Ti dò un input:
Sappiamo che:
[tex]$\forall i=1,2,...n : M_i \le m_i$[/tex]
dove con [tex]M[/tex] e [tex]m[/tex] indico estremo superiore e inferiore della funzione.
@Orlok: In effetti devo chiederti scusa, perchè avevo male interpretato la domanda... Credevo chiedessi perchè le somme inferiore e superiore relative ad una stessa partizione sono sempre l'una minore dell'altra, invece vedo che il problema è un po' più complesso.
Per dimostrare che le due classi (uso le notazioni di Mathcrazy) [tex]$A_f, B_f$[/tex] sono separate devi far vedere che [tex]$\forall P_1,P_2 \text{ partizioni di } [a,b]$[/tex] si ha [tex]$s(f;P_1)\leq S(f_P_2)$[/tex].
Per attaccare questo problema si procede così.
1) Si dimostra che per ogni fissata partizione [tex]$P$[/tex], si ha [tex]$s(f;P)\leq S(f;P)$[/tex] (ciò è facile, giacché segue dalla definizione di somme integrali);
2) Si dimostra che, fissata una qualsiasi partizione [tex]$P$[/tex] ed un punto [tex]$c\in [a,b]\setminus P$[/tex], detta [tex]$P^\prime$[/tex] la partizione che si ottiene aggiungendo [tex]$c$[/tex] a [tex]$P$[/tex], cioè [tex]$P^\prime :=P\cup \{ c\}$[/tex], si ha [tex]$s(f;P)\leq s(f;P^\prime )$[/tex] e [tex]$S(f;P^\prime )\leq S(f;P)$[/tex];
3) Si dimostra (facendo induzione sul numero di punti aggiunti) che se a una partizione [tex]$P$[/tex] si aggiungono [tex]$n$[/tex] punti distinti [tex]$c_1,\ldots ,c_n \in [a,b]\setminus P$[/tex] per formare una partizione "più fitta" [tex]$P^{(n)} =P\cup \{ c_1,\ldots ,c_n \}$[/tex], si ha [tex]$s(f;P) \leq s(f;P^{(n)})$[/tex] e [tex]$S(f;P^{(n)}) \leq S(f;P)$[/tex];
4) Si dimostra (usando 3) che prese due partizioni [tex]$P_1,P_2$[/tex], la partizione [tex]$\hat{P}:=P_1\cup P_2$[/tex] è tale che [tex]$s(f;P_1) \leq s(f;\hat{P})$[/tex] e [tex]$S(f;\hat{P}) \leq S(f;P_1)$[/tex];
5) Si conclude (usando 4 e 1) che [tex]$s(f;P_1)\leq s(f;\hat{P}) \leq S(f;\hat{P}) \leq S(f;P_2)$[/tex].
Per dimostrare che le due classi (uso le notazioni di Mathcrazy) [tex]$A_f, B_f$[/tex] sono separate devi far vedere che [tex]$\forall P_1,P_2 \text{ partizioni di } [a,b]$[/tex] si ha [tex]$s(f;P_1)\leq S(f_P_2)$[/tex].
Per attaccare questo problema si procede così.
1) Si dimostra che per ogni fissata partizione [tex]$P$[/tex], si ha [tex]$s(f;P)\leq S(f;P)$[/tex] (ciò è facile, giacché segue dalla definizione di somme integrali);
2) Si dimostra che, fissata una qualsiasi partizione [tex]$P$[/tex] ed un punto [tex]$c\in [a,b]\setminus P$[/tex], detta [tex]$P^\prime$[/tex] la partizione che si ottiene aggiungendo [tex]$c$[/tex] a [tex]$P$[/tex], cioè [tex]$P^\prime :=P\cup \{ c\}$[/tex], si ha [tex]$s(f;P)\leq s(f;P^\prime )$[/tex] e [tex]$S(f;P^\prime )\leq S(f;P)$[/tex];
3) Si dimostra (facendo induzione sul numero di punti aggiunti) che se a una partizione [tex]$P$[/tex] si aggiungono [tex]$n$[/tex] punti distinti [tex]$c_1,\ldots ,c_n \in [a,b]\setminus P$[/tex] per formare una partizione "più fitta" [tex]$P^{(n)} =P\cup \{ c_1,\ldots ,c_n \}$[/tex], si ha [tex]$s(f;P) \leq s(f;P^{(n)})$[/tex] e [tex]$S(f;P^{(n)}) \leq S(f;P)$[/tex];
4) Si dimostra (usando 3) che prese due partizioni [tex]$P_1,P_2$[/tex], la partizione [tex]$\hat{P}:=P_1\cup P_2$[/tex] è tale che [tex]$s(f;P_1) \leq s(f;\hat{P})$[/tex] e [tex]$S(f;\hat{P}) \leq S(f;P_1)$[/tex];
5) Si conclude (usando 4 e 1) che [tex]$s(f;P_1)\leq s(f;\hat{P}) \leq S(f;\hat{P}) \leq S(f;P_2)$[/tex].
Ah ok. Adesso è tutto un pò più chiaro. Grazie
Quindi sostanzialmente il teorema che afferma che:
dice che le classi ${s(P,f):\ P\in \mathbb{P}[a,b]}$ ed ${S(P,f):\ P\in \mathbb{P}[a,b]}$ $\forall P\in \mathbb{P}[a,b]$ sono due classi separate e contigue. E l'integrale di Riemann è l'elemento separatore. Giusto?
EDIT: Ho modificato le parentesi di $\mathbb{P}[a,b]$ perche l'intervallo non si voleva chiudere
Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ ivi limitata. Allora
i)$\forall P_1,P_2\ \in \mathbb{P}[a,b]\Rightarrow s(P_1,f)\le S(P_2,f)$
ii)Diremo che $f$ è Rieman Integrabile in $[a,b]$ se e solo se riesce che $\forall \epsilon >0\ \exists P_\epsilon:\ S(P_\epsilon,f)-s(P_\epsilon,f)<\epsilon$
dice che le classi ${s(P,f):\ P\in \mathbb{P}[a,b]}$ ed ${S(P,f):\ P\in \mathbb{P}[a,b]}$ $\forall P\in \mathbb{P}[a,b]$ sono due classi separate e contigue. E l'integrale di Riemann è l'elemento separatore. Giusto?
EDIT: Ho modificato le parentesi di $\mathbb{P}[a,b]$ perche l'intervallo non si voleva chiudere
Si,la funzione [tex]$f:[a,b] -> R$[/tex] si dice integrabile secondo Riemann se quei due insiemi, oltre ad essere separati, sono anche contigui; cioè [tex]$sup A_f = inf B_f$[/tex] e l'elemento comune (quello che chiami separatore) è chiamato integrale:
[tex]$\int_{[a,b]} f(x) dx = sup A_f = inf B_f$[/tex]
[tex]$\int_{[a,b]} f(x) dx = sup A_f = inf B_f$[/tex]
ed è una Condizione Necessaria e Sufficiente quella che hai scritto, giusto?
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