Dubbio sulle serie risolte tramite operazioni
Ho un dubbio riguardo le serie numeriche e a quando utilizzare la serie come somma di due serie.
Prendiamo come esempio la seguente serie:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $
Un primo modo per risolvere la serie sarebbe utilizzare il criterio del confronto asintotico:
$ an = 1/n^2+1/n ∼ 1/n^2 $
La serie associata:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 $ è una serie convergente.
Pertanto la serie di partenza converge per il criterio del confronto asintotico.
Un secondo modo per risolvere la serie di partenza sarebbe utilizzare le operazioni tra serie numeriche, in modo tale da spezzare la serie di partenza come somma di due serie:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $ = $ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 $ + $ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n $
Ove:
La prima serie è una serie convergente, la seconda serie è una serie divergente.
Questo implica che la serie di partenza ... diverge.
Cosa sbaglio? Com'è possibile che escono due risultati non in accordo tra di loro?
Prendiamo come esempio la seguente serie:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $
Un primo modo per risolvere la serie sarebbe utilizzare il criterio del confronto asintotico:
$ an = 1/n^2+1/n ∼ 1/n^2 $
La serie associata:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 $ è una serie convergente.
Pertanto la serie di partenza converge per il criterio del confronto asintotico.
Un secondo modo per risolvere la serie di partenza sarebbe utilizzare le operazioni tra serie numeriche, in modo tale da spezzare la serie di partenza come somma di due serie:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $ = $ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 $ + $ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n $
Ove:
La prima serie è una serie convergente, la seconda serie è una serie divergente.
Questo implica che la serie di partenza ... diverge.
Cosa sbaglio? Com'è possibile che escono due risultati non in accordo tra di loro?
Risposte
"frank03":
Prendiamo come esempio la seguente serie:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $
Un primo modo per risolvere la serie sarebbe utilizzare il criterio del confronto asintotico:
$ an = 1/n^2+1/n ∼ 1/n^2 $
Dimostralo.
La serie armonica diverge e $1/n^2+1/n=(1+1/n)/n$
$(1+1/n)/n>1/n$
E per il criterio del confronto...
$(1+1/n)/n>1/n$
E per il criterio del confronto...
"frank03":
Ho un dubbio riguardo le serie numeriche e a quando utilizzare la serie come somma di due serie.
Prendiamo come esempio la seguente serie:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $
Un primo modo per risolvere la serie sarebbe utilizzare il criterio del confronto asintotico:
$ an = 1/n^2+1/n ∼ 1/n^2 $
La serie associata:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 $ è una serie convergente.
Pertanto la serie di partenza converge per il criterio del confronto asintotico.
Un secondo modo per risolvere la serie di partenza sarebbe utilizzare le operazioni tra serie numeriche, in modo tale da spezzare la serie di partenza come somma di due serie:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $ = $ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 $ + $ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n $
Ove:
La prima serie è una serie convergente, la seconda serie è una serie divergente.
Questo implica che la serie di partenza ... diverge.
Cosa sbaglio? Com'è possibile che escono due risultati non in accordo tra di loro?
È una somma di infiniti o di infinitesimi?
Avete perfettamente ragione... Ho capito. Grazie mille per il vostro aiuto.
Sicuro che hai capito? La relazione di asintotico che hai scritto nel primo post è una grossa cavolata. Sei sicuro che ti sia chiaro il perché?
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