Dubbio sulle serie di potenze

[Sk_Anonymous]

Eccomi con un altro esercizio da proporvi

Si consideri la serie

$S=\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n*\frac{x^n}{n*(n-2)!}$

Si determinino di raggio R e l'insieme E di convergenza della serie. Si discuta la convergenza puntuale, assoluta e uniforme della serie.

Usando il criterio del rapporto si vede subito che $R=+\infty$. Dunque c'è convergenza assoluta (e quindi puntuale) in tutto $RR$.
Per la uniforme convergenza, mi viene in mente di applicare il teorema secondo cui la serie è convergente in $[-r;r]$, per ogni $0

[gugo82]

"matths87":Eccomi con un altro esercizio da proporvi

Si consideri la serie

$S=\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n*\frac{x^n}{n*(n-2)!}$

Si determinino di raggio R e l'insieme E di convergenza della serie. Si discuta la convergenza puntuale, assoluta e uniforme della serie.

Usando il criterio del rapporto si vede subito che $R=+\infty$. Dunque c'è convergenza assoluta (e quindi puntuale) in tutto $RR$.
Per la uniforme convergenza, mi viene in mente di applicare il teorema secondo cui la serie è convergente in $]-r;r[$, per ogni $0

Come hai detto tu, essendo il raggio di convergenza infinito, la serie converge assolutamente e puntualmente in $RR$. La convergenza è totale e quindi anche uniforme in ogni compatto $Ksubset RR$.
Per quanto riguarda la soluzione del libro, è bene notare che, per ogni fissato $x in RR$, la serie numerica $\sum_(nge2)(-1)^n*\frac{x^n}{n*(n-2)!}$ è convergente, a segni alterni ed ha la successione dei moduli degli addendi definitivamente decrescente e infinitesima: detta $f(x)$ la somma della serie, se non vado errato il criterio di Leibniz implica che il resto $m$-esimo $|\sum_{n=2}^{m}(-1)^n*\frac{x^n}{n*(n-2)!}-f(x)|$ si può maggiorare col modulo dell'$m$-esimo addendo, cioè:

$|\sum_{n=2}^{m}(-1)^n*\frac{x^n}{n*(n-2)!}-f(x)|le \frac{|x|^m}{m*(m-2)!}$.

Forse la convergenza uniforme sulle semirette $]-oo,a]$ viene fuori da qui, ma comunque mi pare strano (:smt017) perchè al massimo la disuguaglianza precedente ti dice che la serie converge uniformemente per $|x|le a$ con $age 0$.

[Sk_Anonymous]

Quindi avrei ragione io, nel dire che la serie converge uniformemente in $[a;-a]$, con $a$ reale positivo

[gugo82]

"matths87":Quindi avrei ragione io, nel dire che la serie converge uniformemente in $[a;-a]$, con $a$ reale positivo

Sì hai sicuramente ragione, e ciò ti consente di affermare che la serie converge uniformemente su ogni compatto di $RR$ (infatti ogni compatto è contenuto in un intervallo chiuso e limitato simmetrico rispetto all'origine).
Continua a parermi stano che il tuo libro affermi la convergenza uniforme della serie sulle semirette $]-oo,a]$... forse si tratta di un errore di stampa.

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie per l'aiuto.
Bella la frase che hai nella firma: dopo una certa ora, per studiare serve proprio una sana dose di caffè