Dubbio sulle nozioni "collegate" a quella di continuità

[mklplo751]

Salve,un po' di tempo fa sul forum,mi vennero spiegate diverse definizioni di continuità(quella epsilon-delta,per successioni,per intorni e quella per cui la controimmagine di un aperto è un aperto),ora una domanda che mi è sorta è:"le nozioni di continuità uniforme,Holderiana,Lipshitziana possono anche loro avere diverse definizioni a seconda da quale definizione di continuità utilizzo?".Provando a rispondermi da solo,sono uscite le cose più assurde,quindi volevo chiedervi,se non vi reca disturbo,potreste spiegarmi se e come si possono definire queste altre nozioni a partire da diverse definizioni di continuità(o almeno potreste dirmi dove potrei leggere qualcosa a riguardo,ammesso che sia un argomento possibile da comprendere per chi ha studiato solo algebra lineare,geometria 1 e analisi 1)?

[pilloeffe]

Ciao mklplo,

Mi ricordo distintamente che dissonance una volta aveva postato un bel link sull'argomento, ora vedo se lo ritrovo...
Eccolo: http://www.batmath.it/matematica/an_uno/cont_unif/cont_unif.htm

[mklplo751]

Grazie pilloeffe,per la risposta.Da quel che ho capito,è possibile definire una funzione uniformemente continua usando i punti di accumulazione;tuttavia,volevo sapere se in generale cambiando la definizione di continuità cambiassero anche le definizioni di queste nozioni collegate.Per intenderci prendiamo la definizione epsilon-delta di continuità:"Una funzione $f:A(\subset RR)->RR$ è continua in $x_0 in A$ se $ \forall \epsilon >0 \exists \delta=\delta (\epsilon)>0:|f(x)-f(x_0)|< \epsilon, \forallx \in A:|x-x_0|<\delta $",e poi prendiamo la definizione di funzione uniformemente continua:"Una funzione $f:A(\subset RR)->RR$ è uniformemente continua in $A$ se $ \forall \epsilon >0 \exists \delta=\delta (\epsilon)>0:\forall x_1,x_2 \in A:|x_1-x_2|<\delta rArr |f(x_1)-f(x_2)|< \epsilon $.Ora la mia domanda è se uso quest'altra definizione di funzione continua:"Una funzione $f:A(\subset RR)->RR$ è continua in $x_0 in A$ se $ \forall Uexists V:f(x) \in U \forallx \in V \cap A $ (dove $U$ è un intorno di $f(x_0)$,mentre V è un intorno di $x_0$)" posso definire le funzioni uniformemente continue usando gli intorni(in questo caso);ma più in generale:posso definire le nozioni "collegate alla continuità" in modi diversi,per ogni definizione di continuità?

[dissonance]

"pilloeffe":Ciao mklplo,

Mi ricordo distintamente che dissonance una volta aveva postato un bel link sull'argomento, ora vedo se lo ritrovo...
Eccolo: http://www.batmath.it/matematica/an_uno/cont_unif/cont_unif.htm

Beh, mi fa piacere di averlo pubblicizzato un po'. Quel link mi è sempre piaciuto parecchio. Originariamente lo trovai tramite un post di Fioravante Patrone, una referenza autorevole.

@mklplo: L'altra definizione che hai dato è equivalente alla prima, quindi la domanda non ha senso: qualsiasi definizione tu assuma, sempre lo stesso concetto descrivi.

[mklplo751]

sì,lo so,più che altro,volevo vedere se continuità uniforme,Holderiana,Lipshitziana,potessero avere delle definizioni equivalenti,basate su successioni e intorni(anche perché quando ho provato a dimostrare teoremi sulla continuità,con le successioni e con gli intorni mi sono trovato meglio che con la definizione epsilon-delta,e dato che quelle altre nozioni di continuità,usando la definizione come riportata sopra,non riesco a "maneggiarle bene",speravo nell'esistenza di definizioni equivalenti).

[gugo82]

Lipschtzianità ed Hölderianità sono nozioni essenzialmente metriche, poiché la definizione coinvolge una stima della distanza di $f(x_1)$ ed $f(x_2)$ (nel codominio) in termini della distanza di $x_1$ ed $x_2$ (nel dominio).

Temo che anche la continuità uniforme sia utile solo nel contesto degli spazi metrici, sebbene forse la nozione non sia essenzialmente metrica.

[mklplo751]

grazie della risposta,ma da ciò che dici sembra che intorni e successioni non possono essere "usati" per definire cose che dipendono dalla nozione di distanza;ma potrebbe anche essere che abbia capito una cosa per un'altra.

[otta96]

A me sembra improbabile che ci siano riformulazioni degli altri concetti simili alla continuità analoghi perché come ha detto gugo82, la continuità è tra quelle dette l'unica proprietà essenzialmente puntuale, che in ultima analisi è il motivo per cui si può riformulare la continuità in così tanti modi diversi (perché sostanzialmente riesci ad esprimere in molti modi diversi il concetto di avvicinarti ad un punto del dominio), ma le altre condizioni sono globali, quindi il saperti avvicinare ad un punto del dominio a questo punto te ne fai di poco.
Nota che alcuni modi per esprimere ad esempio la continuità uniforme (in spazi metrici) ci sono, tipo $f:X->Y$ è u.c. se $AA\epsilon>0EE\delta>0$ t. c. se $A\subX$ con $diam(A)<\delta$, allora $diam(f(A))<\epsilon$, ma è una riformulazione talmente poco sostanziale che non è molto interessante (opinione mia) e non penso sia ciò che cerchi.
Se $A\subX$ metrico, con $diam(A)$ intendo $\text{sup}_(x,y\inX){d(x,y)}$.

[gugo82]

Essenzialmente sì.
L'idea dietro le proprietà di Lipschitz e di Hölder è stabilire una relazione tra due distanze, non un passaggio al limite.

[mklplo751]

Grazie di nuovo per le risposte,quindi come al solito sto cercando di fare una cosa senza,alcun senso.Comunque,se non vi reca disturbo,volevo chiedervi una cosa:da una parte ho letto che se si usa la seconda definizione di continuità che ho dato tre post fa per definire la continuità in ogni punto di $f^(-1) (B)$,dove $B$ è un aperto contenuto nell'immagine di $f$,si può ottenere la definizione secondo cui $f$ è continua se solo se la controimmagine di un aperto è anch'essa un aperto,ma è vero o no?
Onestamente ho provato a dimostrare se fosse o meno vero,ma arrivavo sempre ad dire che $B \subset RR$,cosa che segue dalla definizione stessa di $B$,in pratico non ho dimostrato niente.

[otta96]

Si, una riformulazione del fatto che una funzione del fatto che una funzione è continua è che la retroimmagine di ogni aperto è un aperto.

[mklplo751]

grazie di nuovo per la risposta