Dubbio sulle equazioni differenziali
Ragazzi, ho un dubbio sulla risoluzione dell'equazione differenziale.
Date queste due equazioni differenziali:
$y'' - 5y' + 4y = xe^x$
$y'' - y' - 2y = e^(2x)$
Vorrei sapere perchè le rispettive soluzioni particolari dei rispettivi integrali generali sono diverse quando entrambe hanno una caratteristica ben precisa: l'esponente della funzione è una radice del polinomio caratteristico di molteplicità 1.
Eppure le soluzioni particolari sono rispettivamente:
$v = (Ax + B)xe^x$
$v = Axe^(2x)$
Vi ringrazio!
Date queste due equazioni differenziali:
$y'' - 5y' + 4y = xe^x$
$y'' - y' - 2y = e^(2x)$
Vorrei sapere perchè le rispettive soluzioni particolari dei rispettivi integrali generali sono diverse quando entrambe hanno una caratteristica ben precisa: l'esponente della funzione è una radice del polinomio caratteristico di molteplicità 1.
Eppure le soluzioni particolari sono rispettivamente:
$v = (Ax + B)xe^x$
$v = Axe^(2x)$
Vi ringrazio!
Risposte
Nella prima, la soluzione dell'omogenea è $y_0=C_1 e^x+C_2 e^{4x}$. Data la presenza nel termine noto di $e^x$, che si palesa anche nell'omogenea, al fine di trovare la soluzione particolare devi ragionare così:
1) serve ovviamente $e^x$
2) poiché nel termine noto c'è $x$ è necessario prendere un polinomio di primo grado $Ax+B$
3) a causa della presenza nell'omogenea di $e^x$, essa non basta: infatti, se la soluzione particolare fosse $(Ax+B)e^x=Ax e^x+B e^x$, il termine $B e^x$ sarebbe assorbito dal termine $C_1 e^x$ e questo non va bene, perché si perderebbe un pezzo della soluzione particolare. A tal fine, visto che la molteplicità algebrica della soluzione $\lambda=1$ è 1, questo implica l'inserimento di un altra $x$ nella soluzione, da cui la soluzione particolare
$$y_P=x(Ax+B)e^x$$
che è quella corretta.
Nella seconda equazione l'omogenea ha soluzione $y_0=C_1 e^{-x}+C_2 e^{2x}$ e quindi per la particolare si ragione così:
1) serve $e^{2x}$ e basta moltiplicarlo per una costante $A$
2) per lo stesso ragionamento di prima, comparendo $e^{2x}$ in entrambe le soluzioni, è necessario inserire una nuova $x$ per evitare che il termine $C_2 e^{2x}$ assorba la soluzione particolare $A e^{2x}$, e quindi la soluzione particolare corretta è
$$y_p=A x e^{2x}$$
(di nuovo la molteplicità algebrica della soluzione $\lambda=2$ risulta 1).
1) serve ovviamente $e^x$
2) poiché nel termine noto c'è $x$ è necessario prendere un polinomio di primo grado $Ax+B$
3) a causa della presenza nell'omogenea di $e^x$, essa non basta: infatti, se la soluzione particolare fosse $(Ax+B)e^x=Ax e^x+B e^x$, il termine $B e^x$ sarebbe assorbito dal termine $C_1 e^x$ e questo non va bene, perché si perderebbe un pezzo della soluzione particolare. A tal fine, visto che la molteplicità algebrica della soluzione $\lambda=1$ è 1, questo implica l'inserimento di un altra $x$ nella soluzione, da cui la soluzione particolare
$$y_P=x(Ax+B)e^x$$
che è quella corretta.
Nella seconda equazione l'omogenea ha soluzione $y_0=C_1 e^{-x}+C_2 e^{2x}$ e quindi per la particolare si ragione così:
1) serve $e^{2x}$ e basta moltiplicarlo per una costante $A$
2) per lo stesso ragionamento di prima, comparendo $e^{2x}$ in entrambe le soluzioni, è necessario inserire una nuova $x$ per evitare che il termine $C_2 e^{2x}$ assorba la soluzione particolare $A e^{2x}$, e quindi la soluzione particolare corretta è
$$y_p=A x e^{2x}$$
(di nuovo la molteplicità algebrica della soluzione $\lambda=2$ risulta 1).
Ti ringrazio per il post esaustivo, ho una domanda sul primo caso.
Cioè, potresti dirmi se è corretto il ragionamento: abbiamo $xe^x$, la presenza della $x$ mi dice che l'integrale particolare deve essere del tipo $(Ax + B)$, poi la presenza di $e^x$ mi dice che, oltre a dover moltiplicare l'integrale particolare per appunto $e^x$, devo anche andare a vedere se la radice del polinomio caratteristico corrisponde all'esponente in questione e se si con che molteplicità. Quindi avesse avuto molteplicità due e non uno, avrei avuto un integrale del tipo: $x^2(Ax + B)e^x$
Cioè, potresti dirmi se è corretto il ragionamento: abbiamo $xe^x$, la presenza della $x$ mi dice che l'integrale particolare deve essere del tipo $(Ax + B)$, poi la presenza di $e^x$ mi dice che, oltre a dover moltiplicare l'integrale particolare per appunto $e^x$, devo anche andare a vedere se la radice del polinomio caratteristico corrisponde all'esponente in questione e se si con che molteplicità. Quindi avesse avuto molteplicità due e non uno, avrei avuto un integrale del tipo: $x^2(Ax + B)e^x$
Esatto!
Ti ringrazio ciampax, sempre molto gentile.
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