Dubbio sulle derivate

[Raffit]

Salve gente, qualcuno può spiegarmi questa frase? " f(x) derivabile n volte in un intorno di x=x0" Non riesco ad immaginarmi graficamente la situazione o cosa succede ne cosa si ottiene con la derivata seconda terza ecc. Grazie

[gio73]

mmm
$f(x)=x^5$
$f'(x)=5x^4$
$f''(x)=20x^3$
eccetera

la derivata prima mi dice se la funzione è crescente o decrescente: se la derivata è positiva la funzione è crescente, cioè la retta tangente ha coefficiente positivo, se è negativa è decrescente e la retta tangente ha coefficiente angolare negativo
la derivata seconda mi dice se la funzione è concava o convessa, cioè posto che la funzione sia crescente cresce sempre più velocemente (derivata seconda positiva e concavità verso l'alto) o cresce sempre più lentamente (derivata seconda negativa e concavità verso il basso)

[Raffit]

Ok ma io intendo graficamente , la derivata prima in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al punto e la seconda? e la terza? ecc ecc. vorrei sapere in un grafico di funzione trovando la n derivate cosa si trova lì. Probabilmente non mi sto spiegando bene e me ne scuso ma non so come far intendere il mio problema

[gugo82]

"Raffit":Ok ma io intendo graficamente , la derivata prima in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al punto e la seconda? e la terza? ecc ecc. vorrei sapere in un grafico di funzione trovando la n derivate cosa si trova lì. Probabilmente non mi sto spiegando bene e me ne scuso ma non so come far intendere il mio problema

Scrivo in maniera approssimativa, giusto per rendere l'idea.
La retta tangente, i.e. quella di equazione \(y=f^\prime (x_0) (x-x_0) + f(x_0)\), non è altro che il polinomio di primo grado che meglio approssima la tua funzione intorno al punto \(x_0\).
La parabola di equazione \(y=\frac{1}{2} f^{\prime \prime }(x_0)\ (x-x_0)^2 + f^\prime (x_0) (x-x_0) + f(x_0)\) non è altro che il polinomio di secondo grado che meglio approssima la tua funzione intorno a \(x_0\).
La cubica di equazione \(y=\frac{1}{6} f^{\prime \prime \prime}(x_0)\ (x-x_0)^3+ \frac{1}{2}f^{\prime \prime }(x_0)\ (x-x_0)^2 + f^\prime (x_0) (x-x_0) + f(x_0)\) non è altro che il polinomio di terzo grado che meglio approssima la tua funzione intorno a \(x_0\).
Etc...
Quindi più derivate hai in un punto, meglio puoi approssimare la tua funzione.

Inoltre, la derivata seconda di una funzione è in un certo senso legata al raggio di curvatura della curva grafico della funzione in \((x_0, f(x_0))\); ma queste sono nozioni che, casomai, incontrerai più avanti.

[Raffit]

Non è quello che chiedevo ma capisco che la colpa è mia che non so spiegarmi xd grazie mille comunque per le risposte!