Dubbio sulle curve di livello
Chiedo scusa per tutte le domande che ho postato ma lunedì ho l'esame!
Allora, ho $ G(x,y) = \int_{0}^{x^2 + y^2} f(t) dt $ , $ F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ e $ f(x) = e^x^2 $
Mi chiede "dopo aver giustificato che G vincolata all'ellisse $ x^2/9 + y^2/4 = 1 $ ammette massimo e minimo, determinare i punti di massimo e minimo vincolato usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange."
Allora io posso dire che esistono massimo e minimo perchè è un insieme compatto, quindi Weiestrass mi dice che ci sono!
Ho provato a fare con Lagrange, ma mi ritrovo a dover esprimere la x in funzione di $x^2 + y^2$ e idem con la y e non riesco a uscirne! Qualcuno può farmi vedere i calcoli?
Ho provato tuttavia a svolgerlo con le curve di livello, giusto per vedere come fosse la situazione ... Mi sono disegnata il mio ellisse che funge da vincolo, e le linee di livello $ x^2 + y^2 = k $
Allora, $ k=0$ non è accettabile perchè non sta sul vincolo.
$ k<0 $ non è accettabile perchè la circonferenza avrebbe raggio negativo.
$ k>0$ ho un minimo in corrispondenza dei due punti di tangenza fra l'ellisse e $x^2 + y^2 = 4$ che sono quindi $ A = (-2,0) B = (2,0)$, e un minimo nei due punti di tangenza fra l'ellisse e $ x^2 + y^2 = 9$ quindi $ C = (0,-3) D = (0,3)$
Poi siccome, osservando il grafico di F(x), vedo che all'aumentare di k, la funzione aumenta sempre , massimi e minimi sono esattamente quelli detti sopra.
Va bene ? Come mai con Lagrange non riesco a trovarli ?
Allora, ho $ G(x,y) = \int_{0}^{x^2 + y^2} f(t) dt $ , $ F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ e $ f(x) = e^x^2 $
Mi chiede "dopo aver giustificato che G vincolata all'ellisse $ x^2/9 + y^2/4 = 1 $ ammette massimo e minimo, determinare i punti di massimo e minimo vincolato usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange."
Allora io posso dire che esistono massimo e minimo perchè è un insieme compatto, quindi Weiestrass mi dice che ci sono!
Ho provato a fare con Lagrange, ma mi ritrovo a dover esprimere la x in funzione di $x^2 + y^2$ e idem con la y e non riesco a uscirne! Qualcuno può farmi vedere i calcoli?
Ho provato tuttavia a svolgerlo con le curve di livello, giusto per vedere come fosse la situazione ... Mi sono disegnata il mio ellisse che funge da vincolo, e le linee di livello $ x^2 + y^2 = k $
Allora, $ k=0$ non è accettabile perchè non sta sul vincolo.
$ k<0 $ non è accettabile perchè la circonferenza avrebbe raggio negativo.
$ k>0$ ho un minimo in corrispondenza dei due punti di tangenza fra l'ellisse e $x^2 + y^2 = 4$ che sono quindi $ A = (-2,0) B = (2,0)$, e un minimo nei due punti di tangenza fra l'ellisse e $ x^2 + y^2 = 9$ quindi $ C = (0,-3) D = (0,3)$
Poi siccome, osservando il grafico di F(x), vedo che all'aumentare di k, la funzione aumenta sempre , massimi e minimi sono esattamente quelli detti sopra.
Va bene ? Come mai con Lagrange non riesco a trovarli ?
Risposte
Ma la $f(x)$ scritta correttamente com'è ? $f(x)=e^(x^2)$ ?
Facciamo finta che sia questa.
Allora ci calcoliamo le derivate parziali di $G(x,y)$ (di nuovo confusione di lettere..
)
$G_x= 4x(x^2+y^2)Exp((x^2+y^2)^2)$
$G_x= 4y(x^2+y^2)Exp((x^2+y^2)^2)$
Poi ci calcoliamo le derivate parziali del vincolo $\mu(x,y)=x^2/9+y^2/4=1$.
$\mu_x=2/9x$
$\mu_y=1/2y$
Ora le 3 condizioni di Lagrange sono
$\mu_x=\lambdaG_x$
$\mu_y=\lambdaG_y$
quindi
$2/9x =\lambda4x(x^2+y^2)Exp((x^2+y^2)^2)$
$1/2y = \lambda4y(x^2+y^2)Exp((x^2+y^2)^2)$
Ora siccome $(x^2+y^2)>0 , (x,y):(\mu=1)$ e siccome $\lambda\ne 0$ per definizione
e' chiaro che
una soluzione di $\mu_x=\lambdaG_x$ è $x=0$
quindi il vincolo ci da $y=\pm2$.
Ecco trovati due punti, gli altri due si trovano in modo analogo.
Facciamo finta che sia questa.
Allora ci calcoliamo le derivate parziali di $G(x,y)$ (di nuovo confusione di lettere..
)$G_x= 4x(x^2+y^2)Exp((x^2+y^2)^2)$
$G_x= 4y(x^2+y^2)Exp((x^2+y^2)^2)$
Poi ci calcoliamo le derivate parziali del vincolo $\mu(x,y)=x^2/9+y^2/4=1$.
$\mu_x=2/9x$
$\mu_y=1/2y$
Ora le 3 condizioni di Lagrange sono
$\mu_x=\lambdaG_x$
$\mu_y=\lambdaG_y$
quindi
$2/9x =\lambda4x(x^2+y^2)Exp((x^2+y^2)^2)$
$1/2y = \lambda4y(x^2+y^2)Exp((x^2+y^2)^2)$
Ora siccome $(x^2+y^2)>0 , (x,y):(\mu=1)$ e siccome $\lambda\ne 0$ per definizione
e' chiaro che
una soluzione di $\mu_x=\lambdaG_x$ è $x=0$
quindi il vincolo ci da $y=\pm2$.
Ecco trovati due punti, gli altri due si trovano in modo analogo.
Non ho capito come mai spunta fuori un "mu" uguale a 1 O_O
Yumina, gliel'ho dato io un nome a $x^2/9+y^2/4$.
E' la funzione di cui calcolare il gradiente su una sua curva di livello, che è $\mu=1$.
E' la funzione di cui calcolare il gradiente su una sua curva di livello, che è $\mu=1$.
Ah si, è solo che non capivo a cosa la sostituivi ! Io sbagliavo, perchè semplificavo le x e le y ...
Scusa non mi torna una cosa, ma sei sicuro che le derivate parziali siano cosi? Perchè la formula di derivazione di una funzione composta è $ D G(x,y) = f ( a(x,y)) * grad a(x,y)$ dove a è l'estremo superiore di integrazione...
Non dovrebbe essere
$Gx = 2x * e^(x^2 + y^2)^2$
$Gy= 2y* e^(x^2 + y^2)^2$
PS: sarebbe $(x^2 + y^2)^2 $ , non so perchè sopra non me lo scrive
Non dovrebbe essere
$Gx = 2x * e^(x^2 + y^2)^2$
$Gy= 2y* e^(x^2 + y^2)^2$
PS: sarebbe $(x^2 + y^2)^2 $ , non so perchè sopra non me lo scrive
"Yumina92":
Scusa non mi torna una cosa, ma sei sicuro che le derivate parziali siano cosi? Perchè la formula di derivazione di una funzione composta è $ D G(x,y) = f ( a(x,y)) * grad a(x,y)$ dove a è l'estremo superiore di integrazione...
Non dovrebbe essere
$Gx = 2x * e^(x^2 + y^2)^2$
$Gy= 2y* e^(x^2 + y^2)^2$
PS: sarebbe $(x^2 + y^2)^2 $ , non so perchè sopra non me lo scrive
Devi scriverlo così:
G_x = 2x * e^((x^2 + y^2)^2)
Le derivate parziali sono corrette come le ho scritte, ripensa bene alla derivazione composta.
Ah ok grazie 
Ma scusa ... se ho una funzione composta in generale, la derivata di $ G o a = G' (a) * a' $
Però se quella G è una funzione integrale , io so che la sua derivata è uguale alla sua integranda, quindi posso riscrivere il tutto come $ G o a = f (a) * a' $
Sul mio libro c'è scritto cosi, la prof in tutti gli esercizi abbiamo sempre fatto cosi. Non capisco proprio cosa fai ... cioè so che se hai un esponenziale, la sua derivata è lo stesso esponenziale , moltiplicato per la derivata dell'esponente, però qui mica la devo fare! Lo dice la formula che devo soltanto fare $ f (a(x,y)) = e^((x^2 + y^2)^2$ e $grad a(x,y) = (2x , 2y)$
Ma scusa ... se ho una funzione composta in generale, la derivata di $ G o a = G' (a) * a' $
Però se quella G è una funzione integrale , io so che la sua derivata è uguale alla sua integranda, quindi posso riscrivere il tutto come $ G o a = f (a) * a' $
Sul mio libro c'è scritto cosi, la prof in tutti gli esercizi abbiamo sempre fatto cosi. Non capisco proprio cosa fai ... cioè so che se hai un esponenziale, la sua derivata è lo stesso esponenziale , moltiplicato per la derivata dell'esponente, però qui mica la devo fare! Lo dice la formula che devo soltanto fare $ f (a(x,y)) = e^((x^2 + y^2)^2$ e $grad a(x,y) = (2x , 2y)$
Si hai ragione tu. Errore mio.
Quindi Con lagrange ricorretto avrei,
$Gx = 2x * e^((x^2 + y^2)^2)$
$Gy= 2y* e^((x^2 + y^2)^2)$
Nel vincolo D avrei
$Dx = 2/9x$
$ Dy = 1/2y$
e quindi il sistema
$\{(2x * e^((x^2 + y^2)^2) = \lambda 2/9x),(2y* e^((x^2 + y^2)^2) = \lambda 1/2x),(x^2 / 9 + y^2/4 =1):}$
E quindi che condizioni devo imporre? Quelle di prima ? Mmm
$Gx = 2x * e^((x^2 + y^2)^2)$
$Gy= 2y* e^((x^2 + y^2)^2)$
Nel vincolo D avrei
$Dx = 2/9x$
$ Dy = 1/2y$
e quindi il sistema
$\{(2x * e^((x^2 + y^2)^2) = \lambda 2/9x),(2y* e^((x^2 + y^2)^2) = \lambda 1/2x),(x^2 / 9 + y^2/4 =1):}$
E quindi che condizioni devo imporre? Quelle di prima ? Mmm
Si il ragionamento non cambia. Io avevo messo un fattore ulteriore $(x^2+y^2)$ che è sempre positivo, quindi non influisce sullo svolgimento.
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