Dubbio sulle condizioni di Cauchy-Riemann per funzioni olomorfe
Salve, ho un piccolo dubbio su come Cauchy sia arrivato a stabilire le condizioni di Olomorfismo per funzioni in $C$...
Comincio col dire che affinchè una funzione possa essere olomorfa (in tutto il dominio) deve essere differenziabile e continua all' interno del dominio che chiameremo $\Omega$.
Ora ogni funzione$f(z)$ di variabile complessa si può anche esprimere come:$ f(x+iy)=u(x,y)+i*v(x,y)$ e per ogni punto $(x_0,y_0)in\Omega$ devono esistere le derivate parziali in x e y, ovvero f(z) deve essere derivabile globalmente;
è dunque necessario, come conseguenza dell' affermazione poco fa fatta, che al tendere a zero dell' incremento (che chiameremo $w=(h,i*k)$) si abbia il seguente risultato:
$f(z)-f(z_0)=alpha*h+beta*ik+omega(h,k)(h^2+k^2)^(1/2)$ con $omega(w)->0$ se $(h,k)->0$.
Quello che mi risulta strano, seppur fondamentalmente io abbia capito il significato (banale) di tali condizioni, è come Cauchy sia arrivato a dire che le derivate parziali in x e y della funzione f devo essere uguali, a meno di un coefficente i.
Ovvero $(d(f)/d(x))=i*(d(f)/dy)$. Ad occhio mi sembra che essa sia una condizione riscontrabile nella funzione elementare $f(z)=z$. Ma quello che mi preme sapere è se queste condizioni sono state effettivamente dedotte proprio dal caso elementare appena citato e generalizzate a tutte le funzioni che si vogliano considerare olomorfe?
Comincio col dire che affinchè una funzione possa essere olomorfa (in tutto il dominio) deve essere differenziabile e continua all' interno del dominio che chiameremo $\Omega$.
Ora ogni funzione$f(z)$ di variabile complessa si può anche esprimere come:$ f(x+iy)=u(x,y)+i*v(x,y)$ e per ogni punto $(x_0,y_0)in\Omega$ devono esistere le derivate parziali in x e y, ovvero f(z) deve essere derivabile globalmente;
è dunque necessario, come conseguenza dell' affermazione poco fa fatta, che al tendere a zero dell' incremento (che chiameremo $w=(h,i*k)$) si abbia il seguente risultato:
$f(z)-f(z_0)=alpha*h+beta*ik+omega(h,k)(h^2+k^2)^(1/2)$ con $omega(w)->0$ se $(h,k)->0$.
Quello che mi risulta strano, seppur fondamentalmente io abbia capito il significato (banale) di tali condizioni, è come Cauchy sia arrivato a dire che le derivate parziali in x e y della funzione f devo essere uguali, a meno di un coefficente i.
Ovvero $(d(f)/d(x))=i*(d(f)/dy)$. Ad occhio mi sembra che essa sia una condizione riscontrabile nella funzione elementare $f(z)=z$. Ma quello che mi preme sapere è se queste condizioni sono state effettivamente dedotte proprio dal caso elementare appena citato e generalizzate a tutte le funzioni che si vogliano considerare olomorfe?
Risposte
Credo che la dimostrazione di questo fatto, riportata su tutti i testi di Analisi Complessa, sia grossomodo quella data da Cauchy nel suo Cours d'Analyse; quindi basta vedere lì.
Insomma, il fattore \(\imath\) esce fuori da considerazioni relative al limite del rapporto incrementale complesso, quando si prendano incrementi reali o immaginari puri per il suo calcolo... Il che è proprio ciò che viene fatto nella dimostrazione delle condizioni di C-R.
Insomma, il fattore \(\imath\) esce fuori da considerazioni relative al limite del rapporto incrementale complesso, quando si prendano incrementi reali o immaginari puri per il suo calcolo... Il che è proprio ciò che viene fatto nella dimostrazione delle condizioni di C-R.
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