Dubbio sull'applicazione del principio di sostituzione inf
C'è una cosa che non mi è chiara sul principio di sostituzione degli infiniti o degli infinitesimi. Allora, se io ho:
[tex]\frac{(1+\tan\frac{1}{n})^{\sqrt{2}} -1}{\sin\frac{1}{n}}[/tex] posso sostituire [tex]\tan\frac{1}{n}[/tex] e [tex]\sin\frac{1}{n}[/tex] con [tex]\frac{1}{n}[/tex] ed arrivare quindi al limite notevole [tex]\frac{(1+a_n)^{\alpha} -1}{a_n}\rightarrow \alpha[/tex] ???
[tex]\frac{(1+\tan\frac{1}{n})^{\sqrt{2}} -1}{\sin\frac{1}{n}}[/tex] posso sostituire [tex]\tan\frac{1}{n}[/tex] e [tex]\sin\frac{1}{n}[/tex] con [tex]\frac{1}{n}[/tex] ed arrivare quindi al limite notevole [tex]\frac{(1+a_n)^{\alpha} -1}{a_n}\rightarrow \alpha[/tex] ???
Risposte
al denominatore lo puoi sicuramente fare perchè $sin(1/n)$ è l'unico termine presente, mentre se ci sono altri termini presenti le cose cambiano ma nel tuo caso è comunque possibile anche al numeratore perchè $tan(1/n)$ è l'unico termine infinitesimo presente.
Se $n to infty$ il risultato è proprio $sqrt(2)$
Quando invece sono presenti somme algebriche di termini infinitesimi la sostituzione se è fatta male potrebbe portare ad un risultato sbagliato
Se $n to infty$ il risultato è proprio $sqrt(2)$
Quando invece sono presenti somme algebriche di termini infinitesimi la sostituzione se è fatta male potrebbe portare ad un risultato sbagliato
"walter89":
al denominatore lo puoi sicuramente fare perchè $sin(1/n)$ è l'unico termine presente, mentre se ci sono altri termini presenti le cose cambiano ma nel tuo caso è comunque possibile anche al numeratore perchè $tan(1/n)$ è l'unico termine infinitesimo presente.
Se $n to infty$ il risultato è proprio $sqrt(2)$
Quando invece sono presenti somme algebriche di termini infinitesimi la sostituzione se è fatta male potrebbe portare ad un risultato sbagliato
basta espanderla fino all'ultimo termine che ti serve
ad esempio se al numeratore ci fosse $e^(1/n) $ al posto di $1+tan(1/n)$il risultato sarebbe?
Mi aggiungo qui per non aprire un altro topic.
Anche io ho qualche dubbio al riguardo. Il professore ha spiegato che gli o-piccoli sono sempre utilizzabili, mentre la sostituzione di funzioni asintotichè può essere errata.
Quali sono questi casi? Quando posso e quando NON DEVO sostituire, ma devo usare gli o-piccoli?
Grazie...
Anche io ho qualche dubbio al riguardo. Il professore ha spiegato che gli o-piccoli sono sempre utilizzabili, mentre la sostituzione di funzioni asintotichè può essere errata.
Quali sono questi casi? Quando posso e quando NON DEVO sostituire, ma devo usare gli o-piccoli?
Grazie...
basta espanderla fino all'ultimo termine che ti serve
Non ne ho la più pallida idea
Comunque credo di avere lo stesso medesimo dubbio di dotmanu
In generale gli asintotici si possono sempre usare quando nella funzione sono presenti solo moltiplicazioni e divisioni, mentre se ci sono anche somme e differenze la certezza del risultato si ha soltanto con gli o-piccoli
"walter89":
ad esempio se al numeratore ci fosse $e^(1/n) $ al posto di $1+tan(1/n)$il risultato sarebbe?
...esattamente lo stesso!
Poichè:
$1+tan(1/n)=1+1/n+o(1/n)$
$e^(1/n)=1+1/n+o(1/n)$
La sostituzione asintotica e gli o-piccoli... non voglio bestemmiare, ma sono esattamente la stessa cosa, anzi sono complementare: le funzioni più "complesse" vengono approssimate asintoticamente ad altre più semplici, e proprio perchè ilrapporto che le unisce è "l'approssimazione" e non "l'uguaglianza", l'errore che si compie nell'approssimazione è rappresentato dagli o-piccoli.
Scusate, ma perchè quando avete dubbi non usate i limiti fondamentali?
Voglio dire, qui si tratta di applicare unicamente il [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^\alpha -1}{x}=\alpha$[/tex]...
Voglio dire, qui si tratta di applicare unicamente il [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^\alpha -1}{x}=\alpha$[/tex]...
Forse si possono sostituire nelle somme quando non ci sono successioni di mezzo ma solo costanti, vedi 1+infinitesimo...c'è solo l'1 di mezzo e non una funzione.
Anche se il prof ha trattato il caso in cui [tex]\frac{n^{3}+n!-51^{n}+\sqrt{n}-7}{2n^{n}-2(n!)+n^{7}*\sqrt{15}-18}[/tex] sostituendo al numeratore [tex]n![/tex] ed al denominatore [tex]2n^n[/tex] in quanto sono i rispettivi infiniti di ordine superiore, arrivando così al [tex]lim \frac{n!}{2n^n}=0[/tex]
Anche se il prof ha trattato il caso in cui [tex]\frac{n^{3}+n!-51^{n}+\sqrt{n}-7}{2n^{n}-2(n!)+n^{7}*\sqrt{15}-18}[/tex] sostituendo al numeratore [tex]n![/tex] ed al denominatore [tex]2n^n[/tex] in quanto sono i rispettivi infiniti di ordine superiore, arrivando così al [tex]lim \frac{n!}{2n^n}=0[/tex]
"walter89":
ad esempio se al numeratore ci fosse $e^(1/n) $ al posto di $1+tan(1/n)$il risultato sarebbe?
ok avevo letto male...il risultato sarebbe 1, giusto?
anzichè leggere [tex]e^{\frac{1}{n}}[/tex] avevo letto [tex]\frac{1}{e^n}[/tex]
ho notato che se con [tex]\frac{(1+\tan\frac{1}{n})^{\sqrt{2}} -1}{\sin\frac{1}{n}}[/tex] procedo sostituendo [tex]\frac{1}{n}[/tex] al posto della tangente e del seno il risultato viene proprio [tex]\sqrt{2}[/tex]. Se decido di dividere numeratore e donominatore per [tex]\cos{\frac{1}{n}}[/tex] evitando la sostituzione il risultato viene lo stesso. E' un caso? Qual'è il giusto metodo per procedere?
"Orlok":
ho notato che se con [tex]\frac{(1+\tan\frac{1}{n})^{\sqrt{2}} -1}{\sin\frac{1}{n}}[/tex] procedo sostituendo [tex]\frac{1}{n}[/tex] al posto della tangente e del seno il risultato viene proprio [tex]\sqrt{2}[/tex]. Se decido di dividere numeratore e donominatore per [tex]\cos{\frac{1}{n}}[/tex] evitando la sostituzione il risultato viene lo stesso. E' un caso? Qual'è il giusto metodo per procedere?
E' legittimo sostituire $1/n$ a $tan(1/n)$ perché è $(( 1 + tan(1/n))^(sqrt(2)) - 1) sim (( 1 + 1/n )^(sqrt(2)) - 1)$.
E' altrettanto legittimo dividere numeratore e denominatore per $cos(1/n)$.
Concordo con Seneca, dire quale sia quello giusto o quello sbagliato non saprei... entrambi i metodi sono ammissibili!
Per mia esperienza con il confronto asintotico, o-piccoli e Taylor fai qualsiasi limite (anche se all'inizio sembra solo un'ulteriore complicazione), mentre se ti metti a dividere&moltiplicare o sommare&sottrarre rischi di non vedere più una fine... però è una considerazione molto soggettiva!
Per mia esperienza con il confronto asintotico, o-piccoli e Taylor fai qualsiasi limite (anche se all'inizio sembra solo un'ulteriore complicazione), mentre se ti metti a dividere&moltiplicare o sommare&sottrarre rischi di non vedere più una fine... però è una considerazione molto soggettiva!
Ci tengo a fare un esempio.
$lim_(x -> 0) (x - sin(x))/(x^3)$
Siccome è $x sim sin(x)$, puoi essere erroneamente condotto ad andare a sostituire $x$ a $sin(x)$, commettendo un errore.
$lim_(x -> 0) (x - x)/(x^3) = 0$ Che è sbagliato.
$x - sin(x)$ non solo non è un infinitesimo equivalente ad $x$, ma non è neppure dello stesso ordine di $x$.
Con Taylor vedi immediatamente che il numeratore è un infinitesimo dell'ordine di $x^3$:
$sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$
$x - sin(x) = x^3/6 + o(x^3)$
Quindi:
$lim_(x -> 0) (x - sin(x))/(x^3) = lim_(x -> 0) (x^3/6 + o(x^3))/(x^3)$
$lim_(x -> 0) (x - sin(x))/(x^3)$
Siccome è $x sim sin(x)$, puoi essere erroneamente condotto ad andare a sostituire $x$ a $sin(x)$, commettendo un errore.
$lim_(x -> 0) (x - x)/(x^3) = 0$ Che è sbagliato.
$x - sin(x)$ non solo non è un infinitesimo equivalente ad $x$, ma non è neppure dello stesso ordine di $x$.
Con Taylor vedi immediatamente che il numeratore è un infinitesimo dell'ordine di $x^3$:
$sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$
$x - sin(x) = x^3/6 + o(x^3)$
Quindi:
$lim_(x -> 0) (x - sin(x))/(x^3) = lim_(x -> 0) (x^3/6 + o(x^3))/(x^3)$
Faccio un commento sulla domanda originaria. Il principio di sostituzione delgi infinitesimi dice che:
$\lim\frac{f(x)+o(f(x))}{g(x)+o(g(x))}=\lim\frac{f(x)}{g(x)}$
(uno dei due limite esiste se e solo se esiste l'altro e sono eguali).
NON dice che
$\lim(\frac{"qualcosa dipendente da "f(x)+o(f(x))}{"qualcos'altro dipendente da "g(x)+o(g(x))})=\lim(\frac{"quel qualcosa dipendente da "f(x)}{"quel qualcos'altro dipendente da "g(x)})$
(che formalmente si scriverebbe $\lim \frac{\Phi(f(x)+o(f(x)))}{\Psi(g(x)+o(g(x)))})=\lim(\frac{\Phi(f(x))}{\Psi(g(x))})$ ).
E' facile vedere che la seconda forma non e' sempre vera.
C'e' un principio generale ( in matematica): cio' che non e' espressamente concesso e' (quasi sempre) vietato
$\lim\frac{f(x)+o(f(x))}{g(x)+o(g(x))}=\lim\frac{f(x)}{g(x)}$
(uno dei due limite esiste se e solo se esiste l'altro e sono eguali).
NON dice che
$\lim(\frac{"qualcosa dipendente da "f(x)+o(f(x))}{"qualcos'altro dipendente da "g(x)+o(g(x))})=\lim(\frac{"quel qualcosa dipendente da "f(x)}{"quel qualcos'altro dipendente da "g(x)})$
(che formalmente si scriverebbe $\lim \frac{\Phi(f(x)+o(f(x)))}{\Psi(g(x)+o(g(x)))})=\lim(\frac{\Phi(f(x))}{\Psi(g(x))})$ ).
E' facile vedere che la seconda forma non e' sempre vera.
C'e' un principio generale ( in matematica): cio' che non e' espressamente concesso e' (quasi sempre) vietato
Vox clamantis in deserto...
"Gugo82":
Scusate, ma perchè quando avete dubbi non usate i limiti fondamentali?
Beh, per tentare di risolvere i propri dubbi. Un esercizio non si fa solo per ottenere il risultato giusto... poi in sede d'esame ok, è un'altra cosa; ma quando uno è a casa e si esercita batte proprio sui propri punti deboli...
Ecco... ancora non ho capito, ma il punto l'abbiamo centrato grazie a Seneca e ViciousGoblin.
L'esempio di Seneca è chiaro, come il princio di sostituzione.
Quello che non è chiaro per me è questo (in pratica il collegamento tra teoria ed esercizio).
Considero:
$lim(f(x)+o(f(x)))/(g(x)+o(g(x))$
So che:
$sin(x)=x+o(x)$
Dunque in:
$lim_(x->0)((x-sin(x))/x^3)$
Perchè non posso assumere $sin(x)$ come $o(x)$?
In altre parole, come riconosco a priori (cioè senza svolgere la verifica del limite in altro modo, es. Taylor, limiti fondamentali... che magari in certi casi non aiutano) quando posso sostituire $x$ a $sin(x)$ senza commettere errori?
Grazie...
L'esempio di Seneca è chiaro, come il princio di sostituzione.
Quello che non è chiaro per me è questo (in pratica il collegamento tra teoria ed esercizio).
Considero:
$lim(f(x)+o(f(x)))/(g(x)+o(g(x))$
So che:
$sin(x)=x+o(x)$
Dunque in:
$lim_(x->0)((x-sin(x))/x^3)$
Perchè non posso assumere $sin(x)$ come $o(x)$?
In altre parole, come riconosco a priori (cioè senza svolgere la verifica del limite in altro modo, es. Taylor, limiti fondamentali... che magari in certi casi non aiutano) quando posso sostituire $x$ a $sin(x)$ senza commettere errori?
Grazie...
Puoi assumere $x-\sin(x) = o(x)$, dal momento che è vero.
Purtroppo, però, quando ti ritrovi $\lim_{x\to 0} \frac{o(x)}{x^3}$ non sei in grado di stabilire né se il limite esiste né tantomeno quanto vale.
Questo perché $o(x)$ indica semplicemente una funzione che tende a $0$ più rapidamente di $x$ (quando $x\to 0$).
Come indicazione di massima, conviene salvare almeno l'infinitesimo principale più un infinitesimo di ordine superiore.
Nel tuo caso questo significa
$x-\sin(x) = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$, che ti permette di concludere.
Purtroppo, però, quando ti ritrovi $\lim_{x\to 0} \frac{o(x)}{x^3}$ non sei in grado di stabilire né se il limite esiste né tantomeno quanto vale.
Questo perché $o(x)$ indica semplicemente una funzione che tende a $0$ più rapidamente di $x$ (quando $x\to 0$).
Come indicazione di massima, conviene salvare almeno l'infinitesimo principale più un infinitesimo di ordine superiore.
Nel tuo caso questo significa
$x-\sin(x) = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$, che ti permette di concludere.
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