Dubbio sull'additività numerabile della Misura di Lebesgue
Supponiamo di trovarci in $\RR.$ Gli intervalli di raggio $1/2^n$ centrati in razionali ricoprono $\RR.$ Ma allora (ordinando i razionali in una successione q(n)):
$\mu $($\RR$)=$\mu$($\cup(q(n)-1/2^n,q(n)+1/2^n)$)$<=$$\Sigma(1/2^n)$=1 Dov'è l'errore?
$\mu $($\RR$)=$\mu$($\cup(q(n)-1/2^n,q(n)+1/2^n)$)$<=$$\Sigma(1/2^n)$=1 Dov'è l'errore?
Risposte
Quegl'intervalli ricoprono $ QQ $ non $ RR $.
ma non è come dire che esiste un reale a distanza positiva da tutti i razionali se è come dici?
Vediamo se ho capito la costruzione che fai.
Ogni intervallo ha lo stesso raggio o no?
Ogni intervallo ha lo stesso raggio o no?
No l'unione è da n=1 a +infinito quindi il raggio degli intervalli diminuisce.
Nel senso, ordinando i razionali, al primo razionale, q(1), associo l'intervallo (q(1)-$1/2$,q(1)+$1/2$), al secondo razionale, q(2), associo (q(2)-$1/4$.q(2)+$1/4$)...
Nel senso, ordinando i razionali, al primo razionale, q(1), associo l'intervallo (q(1)-$1/2$,q(1)+$1/2$), al secondo razionale, q(2), associo (q(2)-$1/4$.q(2)+$1/4$)...
Ok, be da qualche parte l'errore deve stare e io guarderei sul ricoprimento come diceva fabricius.
Ci penso se mi viene in mente qualcosa ti scrivo.
Ci penso se mi viene in mente qualcosa ti scrivo.
"Shanghai":
ma non è come dire che esiste un reale a distanza positiva da tutti i razionali se è come dici?
Ogni numero ha distanza positiva da qualsiasi altro numero.
si ma per densità di $QQ$ in $RR$ non ho che vicino a ogni numero reale x ho un razionale q?
La densità di $ QQ $ non implica che quegli intervallini ricoprano $ RR $.
Possono benissimo esistere degli irrazionali per cui tutti i razionali abbiano associati degli intervallini così piccoli da non contenerli mai.
Possono benissimo esistere degli irrazionali per cui tutti i razionali abbiano associati degli intervallini così piccoli da non contenerli mai.
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