Dubbio Sulla Topologia in R^2
Salve a tutti, avrei dei dubbi sulla classificazione dell'insieme di definizione di funzioni in $R^2$ che non riesco a chiarire applicando le definizioni di topologia del libro, spero possiate aiutarmi.
Innanzitutto vorrei avere una conforma circa il fatto che esistano in $R^2$ insiemi che non sono nè aperti nè chiusi.
In particolare sono confuso sulla classificazione del dominio di questa funzione:
$(sqrt(4x^2+9y^2-36))log(x-|y|)$ , il dominio mi risulta: \begin{cases} 4x^2+9y^2-36>=0 \\ x-|y|>0 \end{cases}.
La prima funzione è un ellisse con vertici sull'asse x $(-3,0)$ , $(3,0)$ e sull'asse y $(0,-2)$ , $(0,2)$ di cui considero nel dominio i punti dell'ellisse stessa e tutti quelli esterni.
La seconda funzione si risolve nelle ascisse che risultano strettamente maggiori del modulo di y.
In conclusione ho un dominio che ha parte della frontiera(i punti dell'ellisse) e un'altra parte esclusa(i punti sulle due rette $y=x$ , $y=-x$), la mia domanda è:come si classifica?a rigore di definizione non dovrebbe essere nè aperto nè chiuso, è possibile?
Grazie in Anticipo
Innanzitutto vorrei avere una conforma circa il fatto che esistano in $R^2$ insiemi che non sono nè aperti nè chiusi.
In particolare sono confuso sulla classificazione del dominio di questa funzione:
$(sqrt(4x^2+9y^2-36))log(x-|y|)$ , il dominio mi risulta: \begin{cases} 4x^2+9y^2-36>=0 \\ x-|y|>0 \end{cases}.
La prima funzione è un ellisse con vertici sull'asse x $(-3,0)$ , $(3,0)$ e sull'asse y $(0,-2)$ , $(0,2)$ di cui considero nel dominio i punti dell'ellisse stessa e tutti quelli esterni.
La seconda funzione si risolve nelle ascisse che risultano strettamente maggiori del modulo di y.
In conclusione ho un dominio che ha parte della frontiera(i punti dell'ellisse) e un'altra parte esclusa(i punti sulle due rette $y=x$ , $y=-x$), la mia domanda è:come si classifica?a rigore di definizione non dovrebbe essere nè aperto nè chiuso, è possibile?
Grazie in Anticipo
Risposte
L'insieme (in \(\mathbb{R}^1\)) \([0, 1)\) non è né aperto né chiuso. Ti stupisce questo? Allora non ti stupirà sapere che pure in \(\mathbb{R}^2\) esistono insiemi né aperti né chiusi. L'insieme di definizione da te calcolato ne è un esempio.
non mi stupisce, anzi mi stupivo del contrario visto che anche il libro sembrava tra le righe escludere questa possibilità o comunque non ha messo in evidenza questo aspetto.
Quindi tornando all'esempio per rispondere alla richiesta "descrivere le principali proprietà topologiche" si può dire che è un insieme connesso non limitato?
Grazie mille
Quindi tornando all'esempio per rispondere alla richiesta "descrivere le principali proprietà topologiche" si può dire che è un insieme connesso non limitato?
Grazie mille
Si, va bene. Io scriverei che quell'insieme è non limitato (quindi non compatto), né aperto né chiuso (anche questo implicherebbe che l'insieme non è compatto), connesso.
Perfetto, grazie ancora.
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