Dubbio sulla sostituzione in una equazione differenziale
salve a tutti non capisco un passaggio nella risoluzione di una equazione differenziale :
y''-3(y^2)y'=0
praticamente viene imposto y'=z
e dice che il differenziale si riduce alla forma
z'*z=3(y^2)z
la cosa che non mi torna e perché y''=z'*z non dovrebbe essere solo z' ???
scusate magari sbaglio una cosa fondamentale e non me ne rendo conto
grazie e scusate per il disturbo
y''-3(y^2)y'=0
praticamente viene imposto y'=z
e dice che il differenziale si riduce alla forma
z'*z=3(y^2)z
la cosa che non mi torna e perché y''=z'*z non dovrebbe essere solo z' ???
scusate magari sbaglio una cosa fondamentale e non me ne rendo conto
grazie e scusate per il disturbo
Risposte
in effetti... hai ragione tu. a meno che io non abbia preso un abbaglio
Ciao!
Anche secondo me è solamente $z'$.
L'equazione è un'equazione del secondo grado.. quindi fai la sostituzione in questo modo:
$y'(t)=z(t)$
Per trovare la tua $y''(t)$ devi derivare però rispetto ad $t$ quindi ottieni
$y''(t)=z'(t)(t)'$
La derivata di $t'$ è 1 quindi ottieni solo $y''(t)=z'(t)$
Se invece facevi una sostituzione così:
$y'=w(y)$ allora andando a derivare rispetto ad $y$ ottenevi:
$y''=w'(y)w(y)$
Però quest'ultima sostituzione la fai nel caso di equazioni autonome (cioè mancanti della variabile $t$)
Ciaoo!
Anche secondo me è solamente $z'$.
L'equazione è un'equazione del secondo grado.. quindi fai la sostituzione in questo modo:
$y'(t)=z(t)$
Per trovare la tua $y''(t)$ devi derivare però rispetto ad $t$ quindi ottieni
$y''(t)=z'(t)(t)'$
La derivata di $t'$ è 1 quindi ottieni solo $y''(t)=z'(t)$
Se invece facevi una sostituzione così:
$y'=w(y)$ allora andando a derivare rispetto ad $y$ ottenevi:
$y''=w'(y)w(y)$
Però quest'ultima sostituzione la fai nel caso di equazioni autonome (cioè mancanti della variabile $t$)
Ciaoo!
attenzione. in entrambi i casi, derivi rispetto a $t$!
inoltre:
$d/{dt} \dot y(t) = d/{dt} w(y(t)) = \partial_y w(y(t)) \partial_t y(t) $
inoltre:
$d/{dt} \dot y(t) = d/{dt} w(y(t)) = \partial_y w(y(t)) \partial_t y(t) $
Ciao!
Si scusa mi sono espresso male! Ho corretto il post per non creare dubbi.. essendo quindi la derivata rispetto $t$ uguale a $1$ otteniamo semplicemente $z'(t)$
Grazie
Ciao
Si scusa mi sono espresso male! Ho corretto il post per non creare dubbi.. essendo quindi la derivata rispetto $t$ uguale a $1$ otteniamo semplicemente $z'(t)$
Grazie
Ciao
ok, ma questa rimane sbagliata $y''=w'(y)w(y)$ 
la forma corretta l'ho scritta nel post precedente.
la forma corretta l'ho scritta nel post precedente.
Ciao!
Scusa per il ritardo nella risposta.. comunque il ragionamento fatto è questo:
$y'=w(y)$
Adesso devo trovare $y''$ quindi:
$y''=w'(y)y'$
Sapendo che $y'=w(y)$
ottengo per sostituzione che:
$y''=w'(y)w(y)$
Ciaoo
Scusa per il ritardo nella risposta.. comunque il ragionamento fatto è questo:
$y'=w(y)$
Adesso devo trovare $y''$ quindi:
$y''=w'(y)y'$
Sapendo che $y'=w(y)$
ottengo per sostituzione che:
$y''=w'(y)w(y)$
Ciaoo
grazie mille =)
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