Dubbio sulla sommatoria logn/n^2

[broke31]

Salve ragazzi, ho un dubbio sulla sommatoria a + infinito di \(\displaystyle logn/n^2 \)non so' se è corretto quello che ho fatto.
per prima cosa ho verificato la condizione necessaria di convergenza, quindi ho fatto il lim x->+infinito \(\displaystyle logn/n^2 \) che tramite DE hopital mi fa 1/\(\displaystyle 2n^2 \) quindi ho concluso che la serie può convergere, successivamente (qui non so se è corretto) ho confrontato la funzione 1/\(\displaystyle 2n^2 \) con la serie 1/\(\displaystyle n^2 \) che sappiamo che converge, quindi ho concluso che la serie converge, ho fatto bene?

[coffee2]

"broke31":ho fatto il lim x->+infinito \( \displaystyle logn/n^2 \) che tramite DE hopital mi fa 1/\( \displaystyle 2n^2 \)

Il limite, per $n\to\infty$, non può essere una funzione di $n$. Che cosa intendevi dire?

"broke31":ho confrontato la funzione 1/\( \displaystyle 2n^2 \) con la serie 1/\( \displaystyle n^2 \)

Se il termine generale della serie è $\log n/n^2$, in base a quale teorema decidi invece di considerare $\frac{1}{2n^2}$?

[IlPolloDiGödel]

Ok, rivediamo quello chei fatto, broke31. Partendo da $sum_{n=1}^{+infty} (lg(n))/n^2$ hai verificato essere vera la condizione necessaria non sufficiente alla convergenza $lim_{n->+infty} (lg(n))/n^2 = 0$ usando la regola di de l'Hopital (e vabbè, non era necessario ma è legittimo, quindi ok).
Fin qui tutto bene, quando però confronti le serie devi ricordarti che il termine generale è $(lg(n))/n^2$, non $1/(2n^2)$; hai utilizzato quest'ultimo per calcolare il limite della successione seguendo de l'Hopital, e ok, dopo però va buttato via
Quindi, ti lascio la domandina: è vero che $(lg(n))/n^2 ~ 1/n^2$? Chiaramente se ciò è vero, la serie converge, perchè come hai detto giustamente $sum 1/n^2$ converge.

[broke31]

grazie mille per le risposte, mi siete stati davvero di aiuto:-)