Dubbio sulla risoluzione di una serie

[Papercut]

Ciao a tutti ragazzi, mi sono imbattuto nella seguente serie: $ sum_(n=1)^(+oo) 1/sqrtn*(e^(1/sqrtn)-tan(1/sqrtn)-1) $ e non sono sicurissimo di averla risolta nel modo corretto, vi espongo i passaggi:

1) Ho innanzitutto verificato la C.N., constatando di dover proseguire dal momento che il limite è uguale a 0.

2) Ho provato ad utilizzare il criterio del rapporto, senza alcun risultato dal momento che il limite è uguale ad 1.

3) Ho deciso di applicare Taylor e di ricavare l'ordine p al fine di applicare il criterio degli infinitesimi:

Ponendo $ 1/sqrtn=x =>x->0 $ per $ n->oo $ allora $ x(e^x-tanx-1) ~ x(1+x+x^2+o(x^2)-x+o(x)-1) $ da cui $ =x^3=1/sqrt(n^3)=1/n^(3/2 $ e quindi scelgo $ p=3/2 $.

Ora, per il criterio degli infinitesimi svolgo il limite: $ lim_(n -> oo ) n^pa_n=lim_(n -> oo )n^(3/2)*1/sqrtn*(e^(1/sqrtn)-tan(1/sqrtn)-1) =1/2 $. Essendo p>1 e $ lim!=oo $ allora la serie converge.

Cosa ne dite? Ho per caso sbagliato il metodo di risoluzione?

[marco.ve1]

"Papercut":
$ x(e^x-tanx-1) ~ x(1+x+x^2+o(x^2)-x+o(x)-1) $ da cui $ =x^3=1/sqrt(n^3)=1/n^(3/2 $

Il risultato è giusto, ma riguardati questo passaggio

[Papercut]

Era proprio questa la parte di cui sospettavo, cosa c'è che non quadra?

[marco.ve1]

$x(e^x -tanx -1) = x(1 + x + x^2/2 + o(x^2) - x + o(x^2) -1) = x^3/2 + o(x^3)$ e poi prosegui come hai già fatto

[Papercut]

Verissimo, ho mancato il fattoriale, beh grazie mille!