Dubbio sulla risoluzione di un problema di Cauchy

[fenghuang]

Ciao a tutti! Sto risolvendo il seguente problema di Cauchy ma, una volta trovata la soluzione, l'ultima parte dell'esercizio mi chiede di stabilire come varia l'intervallo di definizione al variare del mio $y_0$ e non mi viene in mente come svolgere questa parte, quindi spero che possiate darmi una mano

$ \{ (y' = (1 + x^(1/2))*e^(2*x^(1/2) - y)) , (y(1) = y_0):} $

per trovare $y(x)$ risolvo

$\int_{1}^{x} y'(t) e^(y(t)) dt = \int_{1}^{x} (1 + t^(1/2))*e^(2*t^(1/2)) dt$

e ottengo(scusate se salto i calcoli, ma penso siano giusti e sono veramente un sacco)

$e^(y(x)) - e^(y_0) = x e^(2*x^(1/2)) - e^2 $

da cui

$y(x) = log(x e^(2*x^(1/2)) - e^2 + e^(y_0)) $

ora, a patto che sia tutto giusto, mi viene chiesto di determinare tutti i valori di $y_0$ per cui la soluzione è definita per ogni $x in (0, +infty)$ ma non so come procedere. Qualcuno potrebbe spiegarmelo?

Grazie a tutti per la disponibilità

[ostrogoto1]

Per determinare i valori di $ y_0 $ per cui la soluzione $ y(x)=ln (xe^(2x^(1/2)) - e^2 + e^(y_0)) $ e' definita su $ (0,+oo) $ nota che l'argomento del logaritmo e' maggiore di 0 $ AA x in (0,+oo) $ se $ -e^2 +e^(y_0) > 0 $ considerando che l'immagine di $ xe^(2x^(1/2)) $ e' $ [0, +oo) $.
Risolvendo $ -e^2 +e^(y_0) > 0 $ trovi la condizione su $ y_0 $.

Per studiare invece come varia l'intervallo di definizione al variare di $ y_0 $ , la tua prima domanda, imponi che l'argomento del logaritmo sia maggiore di 0 e studia la disuguaglianza ottenendo condizioni sulla x al variare di $ y_0 $