Dubbio sulla risoluzione di semplici integrali con denominatore f(x) primitiva del numeratore f'(x)

[hero_vale]

Ciao a tutti.

Scrivo per la prima volta in questo forum riguardo ad un dubbio che ho nella risoluzione di integrali aventi numeratore derivata del denominatore; ad esempio, un integrale di questo tipo

$ \int5/(5x + 1) dx $

ha come soluzione

$ ln|5x + 1| $

essendo il numeratore la derivata del denominatore.

Ma se io semplificassi la frazione raccogliendo un 5 a denominatore, otterrei

$ \int 1/(x + 1/5) $

che ha invece per soluzione

$ ln|x + 1/5| $

C'è qualche errore nel mio ragionamento oppure sono entrambe soluzioni corrette e i due logaritmi per qualche strano motivo sono uguali?

P.S. so che la risposta sarà scontata e che la domanda si rivelerà essere piuttosto stupida, quindi abbiate clemenza

[axpgn]

Prova a derivare e guarda cosa succede ...
Peraltro hai dimenticato una cosa nella primitiva, sembra un dettaglio ma non lo è ...

[anto_zoolander]

Oltretutto a voler essere pedanti manca $+c$ in entrambi.
Che poi proprio quello ti porterebbe a risolvere il tuo dubbio

[Lo_zio_Tom]

"anto_zoolander":Oltretutto a voler essere pedanti manca $+c$ in entrambi.
Che poi proprio quello ti porterebbe a risolvere il tuo dubbio

interpretando l'axpgn-pensiero...intendeva esattamente questo nel suo intervento...

[axpgn]

[hero_vale]

Quindi il fatto è che le primitive di una funzione sono tante (infinite per ogni c costante additiva) e che in qualche modo $ ln|5x + 1| = ln|x + 1/5| + c $ ? Semplicemente dovrei aver trovato due primitive entrambe corrette della stessa funzione giusto?

[axpgn]

Grosso modo sì, però non è "a caso" ...

$ln|x+1/5|=ln|(5x+1)/5|=ln|5x+1|-ln5$

Come puoi vedere è la stessa funzione diminuita di $ln5$

[hero_vale]

Capito perfettamente! Grazie dell'aiuto