Dubbio sulla riemann integrabilita'

[Yak52]

E' da un po' che non ripasso questo argomento con un certo rigore...

Non mi ricordo piu' come mai SinX/X non sia riemann integrabile. Il dubbio mi affligge da tutta mattina e vi prego di spiegarmelo con cura... grazie!

[amel3]

Su che dominio scusa?

[Lorenzo Pantieri]

"Yak52":E' da un po' che non ripasso questo argomento con un certo rigore...

Non mi ricordo piu' come mai SinX/X non sia riemann integrabile. Il dubbio mi affligge da tutta mattina e vi prego di spiegarmelo con cura... grazie!

Sicuro di non confonderti? La funzione $\frac{\sin x}{x}$ è Riemann-integrabile sull'intervallo $[0,+\infty[$ (con integrale uguale a $\frac{\pi}{2}$). Non è assolutamente integrabile su quell'intervallo. Quindi non è Lebesgue-integrabile su quell'intervallo (visto che nella teoria di Lebesgue, l'integrabilità coincide con l'integrabilità assoluta).

Ciao,
L.

[Yak52]

forse su questo ho un po' di dubbi (altrimenti nn sarei qui a chiedere)... allora che sinx/x sia integrabile sull'intervallo 0-infinito lo so, ma l'integrale e' un integrale generalizzato che nn penso concida con la definizione di integrale di riemann. Per esempio e' integrabile sull'intervallo 0-1?
Inoltre se nn e' lebesgue integrabile dovrebbe essere non riemann integrabile, visto che l'int di lebesgue e' piu' generale... Forse ho sparato qlc cagata e vi prego in caso di correggermi!!! Ciaooo

[Lorenzo Pantieri]

"Yak52":forse su questo ho un po' di dubbi (altrimenti nn sarei qui a chiedere)... allora che sinx/x sia integrabile sull'intervallo 0-infinito lo so, ma l'integrale e' un integrale generalizzato che nn penso concida con la definizione di integrale di riemann. Per esempio e' integrabile sull'intervallo 0-1?
Inoltre se nn e' lebesgue integrabile dovrebbe essere non riemann integrabile, visto che l'int di lebesgue e' piu' generale... Forse ho sparato qlc cagata e vi prego in caso di correggermi!!!

Stai facendo un (bel) po' di confusione!

1. Per "integrale generalizzato" si intende una generalizzazione dell'integrale di Riemann.
2. Che la funzione sia R-integrabile sull'intervallo [0,1] è ovvio: è una funzione continua su un intervallo compatto. (Quello che accade in zero non importa: è un insieme di misura nulla.)
3. L'affermazione "se una funzione non è L-integrabile, allora non è R-integrabile" è falsa: ti ho appena esibito un controesempio!
4. E' però vero che, per funzioni limitate su insiemi limitati, la R-integabilità implica la L-interabilità (e i due integrali sono uguali). Non vale ovviamente il viceversa: controesempio: la funzione di Dirichlet.

Ciao,
L.

[Principe2]

"Lorenzo Pantieri":per funzioni limitate su insiemi limitati, la R-integabilità implica la L-interabilità (e i due integrali sono uguali). Non vale ovviamente il viceversa: controesempio: la funzione di Dirichlet.

Immagino volessi dire che la L-int implica la R-int

[Lorenzo Pantieri]

"ubermensch":[quote="Lorenzo Pantieri"]per funzioni limitate su insiemi limitati, la R-integabilità implica la L-interabilità (e i due integrali sono uguali). Non vale ovviamente il viceversa: controesempio: la funzione di Dirichlet.

Immagino volessi dire che la L-int implica la R-int[/quote]
Ti sbagli!

Ciao,
L.

[Principe2]

ah certo!
oggi sto dicendo un mucchio di scemate!

[Yak52]

Ti ringrazio lorenzo... hai chiarito i miei dubbi!!!

[Lorenzo Pantieri]

"Yak52":Ti ringrazio lorenzo... hai chiarito i miei dubbi!!!

Di niente!

Personalmente, sono convinto che per padroneggiare i concetti fondamentali dell'analisi (continuità, derivabilità, differenziabilità, analiticità, integrabilità, ...), l'aiuto di funzioni "notevoli" -come "esempi e controesempi"- sia utilissimo (per non dire indispensabile). La funzione $\frac{\sin x}{x}$ è una di queste.

Notevoli sono anche: il gradino di Heaviside $H(x)$, la funzione segno, il valore assoluto, la funzione $\exp{-\frac{1}{x^2}}$, la funzione $x^2 \sin{\frac{1}{x}}$, la funzione di Dirichlet, ... E' sorprendente quanta matematica si possa capire con queste semplici funzioni...

Ciao,
L.