Dubbio sulla disuguaglianza triangolare
$ |a|+|b|>=|a+b| $
E fin qua ci sono. La somma di due lati di un triangolo non può essere minore del terzo lato, altrimenti non possiamo formare un triangolo.
Inoltre, se considerati come vettori, il vettore somma a+b deve avere modulo minore o uguale alla somma dei moduli dei due vettori a e b.
es. |a| = 2, |b| = 2
$ |a|+|b|=2+2 = 4 $
$ |a+b| = sqrt(2^2+2^2)=sqrt8 $
$ 4>sqrt8 $
Per la disuguaglianza triangolare inversa, invece, la differenza tra due lati di un triangolo deve essere minore o uguale al terzo lato. In simboli, $ |a|-|b|<=|a+b| $. Giusto?
Sul libro però porta $ |a|-|b|<=||a|-|b|| $, che significa (ditemi se sbaglio) che la differenza tra i moduli dei due lati (o vettori) è sempre minore o uguale al modulo della stessa.
es. |a|= -2, |b|=2
$ |a|-|b|=-2-2=-4 $
$ ||a|-|b||=|-4|=4 $
$ -4<4 $
Non capisco però a cosa serva sapere questo e come sia collegato alla proprietà dei triangoli.
E fin qua ci sono. La somma di due lati di un triangolo non può essere minore del terzo lato, altrimenti non possiamo formare un triangolo.
Inoltre, se considerati come vettori, il vettore somma a+b deve avere modulo minore o uguale alla somma dei moduli dei due vettori a e b.
es. |a| = 2, |b| = 2
$ |a|+|b|=2+2 = 4 $
$ |a+b| = sqrt(2^2+2^2)=sqrt8 $
$ 4>sqrt8 $
Per la disuguaglianza triangolare inversa, invece, la differenza tra due lati di un triangolo deve essere minore o uguale al terzo lato. In simboli, $ |a|-|b|<=|a+b| $. Giusto?
Sul libro però porta $ |a|-|b|<=||a|-|b|| $, che significa (ditemi se sbaglio) che la differenza tra i moduli dei due lati (o vettori) è sempre minore o uguale al modulo della stessa.
es. |a|= -2, |b|=2
$ |a|-|b|=-2-2=-4 $
$ ||a|-|b||=|-4|=4 $
$ -4<4 $
Non capisco però a cosa serva sapere questo e come sia collegato alla proprietà dei triangoli.
Risposte
Al di la del formalismo eccessivo, che alla fine ha come effetto di confondere le idee del povero studente, serve capire il contesto e cosa vogliono dire quegli oggetti $a, b, c$...
Se $a, b, c$ sono le lunghezze dei lati di un triangolo, vale $c \le a+b$.
Fine, senza moduli, senza scambiare le posizioni, o altro. Le lunghezze sono sempre positive e quindi la somma della lunghezza di due lati e' maggiore della lunghezza del terzo lato.
Per dimostrarlo, dovremmo farlo geometricamente, siccome il triangolo e' un ente geometrico, ma poi, siccome vedremo che la cosa vale per i vettori, facciamo finta che i vettori siano lati del triangolo, e fine.
Se $a, b$ sono numeri (ad es. reali), allora entrano in gioco i moduli.
$|a|+|b| \ge |a+b|$
Se $a, b$ hanno segno concorde, la formula diventa una uguaglianza, $a+b = a+b$.
Se $a, b$ hanno segno discorde allora banalmente, ipotizzando $b<0$, togliamo i moduli...
$a-b \ge a+b$ quindi $-b \ge b$, con $b<0$, quindi tutto torna.
Se fosse $b+a < 0$, allora togliere i moduli significava $-b \ge -b$. Ovvio.
Se poi ragioniamo di vettori, ad es. di vettori bidimensionali, allora $|a|=\sqrt(a_1^2 + a_2^2)$, quindi
$|a|+|b| \ge |a+b| = \sqrt(a_1^2 + a_2^2)+\sqrt(b_1^2 + b_2^2) \ge \sqrt(a_1^2 +a_1b_1+b_1^2+ a_2^2+a_2b_2+b_2^2)$
Togliendo le radici, siccome gli argomenti sono positivi,
$a_1^2 + a_2^2+b_1^2 + b_2^2 +\sqrt( (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) ) \ge a_1^2 +a_1b_1+b_1^2+ a_2^2+a_2b_2+b_2^2$
ossia
$\sqrt( (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) ) \ge a_1b_1+a_2b_2$.
Il che e' banale da vedere, senza ostruire la pagina con altre scritture.
Il caso della discordia, poi, ovvero:
$ |a|-|b|<=|a-b| $
secondo me e' solo fumo negli occhi. Rispetto alla formula che menzioni tu, ho tolto alcuni moduli.
Nel senso che:
$|a|+|b| \ge |a+b|$, e ne abbiamo gia' parlato.
Ora sostituisco $b=-c$ e ottengo
$|a|+|c| \ge |a-c|$
ovvero
$|a|- |a-c| \ge -|c| $
ovvero
$|a-c|-|a| \le |c| $
ovvero sostituendo $d=a-c$
$|d|-|a| \le |a-d| $.
Quindi abbiamo dimostrato che le due scritture sono equivalenti dopo le opportune sostituzioni, ovvero non capisco che
senso abbia presentare la stessa minestra spacciandola per due minestre diverse.
Questo poi e' doppiamente fumo negli occhi, un trionfo di moduli.
$ |a|-|b|<=||a|-|b|| $
Discutiamo due casi: $|a|>|b|$ e viceversa.
Nel primo caso
$ |a|-|b|<=|a|-|b| $ e non c'e' molto da dire.
Oppure
$ |a|-|b|<=|b|-|a| $ e anche qui non c'e' molto da dire, siccome $|a|<|b|$.
Nel caso di vettori si arriva a conclusioni simili, anzi piu' semplici, potendo scomodare un po' di geometria.
A cosa serve non si sa.
Se $a, b, c$ sono le lunghezze dei lati di un triangolo, vale $c \le a+b$.
Fine, senza moduli, senza scambiare le posizioni, o altro. Le lunghezze sono sempre positive e quindi la somma della lunghezza di due lati e' maggiore della lunghezza del terzo lato.
Per dimostrarlo, dovremmo farlo geometricamente, siccome il triangolo e' un ente geometrico, ma poi, siccome vedremo che la cosa vale per i vettori, facciamo finta che i vettori siano lati del triangolo, e fine.
Se $a, b$ sono numeri (ad es. reali), allora entrano in gioco i moduli.
$|a|+|b| \ge |a+b|$
Se $a, b$ hanno segno concorde, la formula diventa una uguaglianza, $a+b = a+b$.
Se $a, b$ hanno segno discorde allora banalmente, ipotizzando $b<0$, togliamo i moduli...
$a-b \ge a+b$ quindi $-b \ge b$, con $b<0$, quindi tutto torna.
Se fosse $b+a < 0$, allora togliere i moduli significava $-b \ge -b$. Ovvio.
Se poi ragioniamo di vettori, ad es. di vettori bidimensionali, allora $|a|=\sqrt(a_1^2 + a_2^2)$, quindi
$|a|+|b| \ge |a+b| = \sqrt(a_1^2 + a_2^2)+\sqrt(b_1^2 + b_2^2) \ge \sqrt(a_1^2 +a_1b_1+b_1^2+ a_2^2+a_2b_2+b_2^2)$
Togliendo le radici, siccome gli argomenti sono positivi,
$a_1^2 + a_2^2+b_1^2 + b_2^2 +\sqrt( (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) ) \ge a_1^2 +a_1b_1+b_1^2+ a_2^2+a_2b_2+b_2^2$
ossia
$\sqrt( (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) ) \ge a_1b_1+a_2b_2$.
Il che e' banale da vedere, senza ostruire la pagina con altre scritture.
Il caso della discordia, poi, ovvero:
$ |a|-|b|<=|a-b| $
secondo me e' solo fumo negli occhi. Rispetto alla formula che menzioni tu, ho tolto alcuni moduli.
Nel senso che:
$|a|+|b| \ge |a+b|$, e ne abbiamo gia' parlato.
Ora sostituisco $b=-c$ e ottengo
$|a|+|c| \ge |a-c|$
ovvero
$|a|- |a-c| \ge -|c| $
ovvero
$|a-c|-|a| \le |c| $
ovvero sostituendo $d=a-c$
$|d|-|a| \le |a-d| $.
Quindi abbiamo dimostrato che le due scritture sono equivalenti dopo le opportune sostituzioni, ovvero non capisco che
senso abbia presentare la stessa minestra spacciandola per due minestre diverse.
Questo poi e' doppiamente fumo negli occhi, un trionfo di moduli.
$ |a|-|b|<=||a|-|b|| $
Discutiamo due casi: $|a|>|b|$ e viceversa.
Nel primo caso
$ |a|-|b|<=|a|-|b| $ e non c'e' molto da dire.
Oppure
$ |a|-|b|<=|b|-|a| $ e anche qui non c'e' molto da dire, siccome $|a|<|b|$.
Nel caso di vettori si arriva a conclusioni simili, anzi piu' semplici, potendo scomodare un po' di geometria.
A cosa serve non si sa.
“Il caso della discordia”...
In realtà, la disuguaglianza triangolare inversa corretta è:
\[
\Big| |a| - |b| \Big| \leq |a - b|\; ,
\]
la quale implica entrambe le disuguaglianze $|a| - |b| <= | a - b|$ e $ |b|-|a|<= |a-b|$ perché risulta \(|a|-|b|, |b|-|a| \leq \Big| |a|-|b|\Big|\), in quanto per definizione:
\[
|x|:= \max \{ x, -x\}\geq x, -x
\]
per ogni numero $x in RR$.
Un appunto: $|a|=-2$ non vale nemmeno nei peggiori bar di Caracas.
In realtà, la disuguaglianza triangolare inversa corretta è:
\[
\Big| |a| - |b| \Big| \leq |a - b|\; ,
\]
la quale implica entrambe le disuguaglianze $|a| - |b| <= | a - b|$ e $ |b|-|a|<= |a-b|$ perché risulta \(|a|-|b|, |b|-|a| \leq \Big| |a|-|b|\Big|\), in quanto per definizione:
\[
|x|:= \max \{ x, -x\}\geq x, -x
\]
per ogni numero $x in RR$.
Un appunto: $|a|=-2$ non vale nemmeno nei peggiori bar di Caracas.
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