Dubbio sulla dimostrazione del teorema sull'esistenza di radice di 2.
Salve a tutti. A lezione di Analisi I abbiamo dimostrato il seguente teorema:
"Esiste un numero reale $c$ tale che $c^2 = 2$"
Il mio prof ha adoperato la dimostrazione presente a pagine 9 e 10 dei seguenti appunti:
http://www.dmi.units.it/~fonda/AppuntiAnalisi1.pdf
Rivedendoli, però, non capisco la logica della dimostrazione. Le ipotesi mi sono chiare ed è anche chiaro il fatto di considerare i due casi $c^2 > 2$ e $c^2 < 2$ e mostrare che sono falsi (dimostrazione per assurdo).
Quello che non mi è chiaro sono i passaggi
$(c - 1/n)^2 = ...$ e
$(c + 1/n)^2 = ...$
cioè da lì in poi nei due casi. Qualcuno che sappia illuminarmi? Ho pensato che si scelga un $n$ tale per cui posso dire di avvicinarmi sempre di più a $c$ da destra e da sinistra e vedere che cosa succede al quadrato... ma poi non capisco i passaggi fatti e le conclusioni...
"Esiste un numero reale $c$ tale che $c^2 = 2$"
Il mio prof ha adoperato la dimostrazione presente a pagine 9 e 10 dei seguenti appunti:
http://www.dmi.units.it/~fonda/AppuntiAnalisi1.pdf
Rivedendoli, però, non capisco la logica della dimostrazione. Le ipotesi mi sono chiare ed è anche chiaro il fatto di considerare i due casi $c^2 > 2$ e $c^2 < 2$ e mostrare che sono falsi (dimostrazione per assurdo).
Quello che non mi è chiaro sono i passaggi
$(c - 1/n)^2 = ...$ e
$(c + 1/n)^2 = ...$
cioè da lì in poi nei due casi. Qualcuno che sappia illuminarmi? Ho pensato che si scelga un $n$ tale per cui posso dire di avvicinarmi sempre di più a $c$ da destra e da sinistra e vedere che cosa succede al quadrato... ma poi non capisco i passaggi fatti e le conclusioni...
Risposte
Che cosa non è chiaro in particolare?
Il ragionamento, in soldoni, mostra che supponendo $c^2>2$ (ossia $cinB$) allora può verificarsi anche $(c-1/n)^2>2$ (ossia che anche $c-1/ninB$). Questo è assurdo perché vale (per la proprietà di separazione scritta poco sopra) $c<=b$, dove $b$ è un elemento dell'insieme $B$.
Nel caso specifico $b=c-1/n$, da cui la relazione $c<=c-1/n$ che chiaramente non sussiste. Pertanto non può valere l'ipotesi fatta $c^2>2$.
Ragionamento analogo per l'insieme $A$.
È un po' più chiaro? Ci sono altri dubbi?
Il ragionamento, in soldoni, mostra che supponendo $c^2>2$ (ossia $cinB$) allora può verificarsi anche $(c-1/n)^2>2$ (ossia che anche $c-1/ninB$). Questo è assurdo perché vale (per la proprietà di separazione scritta poco sopra) $c<=b$, dove $b$ è un elemento dell'insieme $B$.
Nel caso specifico $b=c-1/n$, da cui la relazione $c<=c-1/n$ che chiaramente non sussiste. Pertanto non può valere l'ipotesi fatta $c^2>2$.
Ragionamento analogo per l'insieme $A$.
È un po' più chiaro? Ci sono altri dubbi?
E' un po' più chiara l'idea di fondo: ho provato a farlo da solo e ho ottenuto gli stessi passaggi algebrici. Grazie mille!
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