Dubbio sulla differenziabilità e continuità di funz di 2 var
Salve a tutti, sto studiando per la prima parte di esame di analisi 2 e ho provato a fare alcuni esercizi proposti dal prof su limiti, continuità e differenziabilità!!!
Oggi mi sono ritrovato davanti questo esercizio:
Studiare la continuità e differenziabilità della seguente funzione in (0,0):
$ f(x,y) { ( ((x-y)*root(3)((x^2)y))/(x^2+y^2) rarr (x,y)=(0,0) ),( 0 rarr (x,y)=(0,0) ):} $
Io ho provato a svolgerlo in questo modo:
mi sono riportato tutto in coordinate polari trovandomi dopo alcuni raccoglimenti la funzione $f(rho, theta)=(rho^2(costheta-sintheta)(root(3)(cos^2theta*sintheta)))/rho^2$
che semplificando i $rho$ e passando al $ lim_(rho - > 0) f(rho, theta)$ , questo mi da un risultato dipendente da $theta$ e quindi concludo k il limite in (0,0) non esiste, quindi che la funzione non è continua in (0,0) e di conseguenza k non è differenziabile in quanto non continua.... Questo però mi sembra troppo banale per un esercizio proposto dal nostro prof. quindi secondo me sbaglio qualcosa...
Potete dirmi per favore se è così e semmai dove sbaglio?
Oggi mi sono ritrovato davanti questo esercizio:
Studiare la continuità e differenziabilità della seguente funzione in (0,0):
$ f(x,y) { ( ((x-y)*root(3)((x^2)y))/(x^2+y^2) rarr (x,y)=(0,0) ),( 0 rarr (x,y)=(0,0) ):} $
Io ho provato a svolgerlo in questo modo:
mi sono riportato tutto in coordinate polari trovandomi dopo alcuni raccoglimenti la funzione $f(rho, theta)=(rho^2(costheta-sintheta)(root(3)(cos^2theta*sintheta)))/rho^2$
che semplificando i $rho$ e passando al $ lim_(rho - > 0) f(rho, theta)$ , questo mi da un risultato dipendente da $theta$ e quindi concludo k il limite in (0,0) non esiste, quindi che la funzione non è continua in (0,0) e di conseguenza k non è differenziabile in quanto non continua.... Questo però mi sembra troppo banale per un esercizio proposto dal nostro prof. quindi secondo me sbaglio qualcosa...
Potete dirmi per favore se è così e semmai dove sbaglio?
Risposte
Mi sembra corretto. Allo stesso risultato arrivi considerando la restrizione $f(x, -x)$, che non è continua nell'origine.
ODDIO... Ecco perchè mi sembrava troppo scontato...perchè sono un coglione.....ho trascritto male il testo dell'esercizio!!! A denominatore c'è $root()(x^2+y^2)$ e non soltanto $x^2+y^2$!!!
A questo punto rislvolgendo l'esercizio mi viene, sostituendo le coordinate polari, continua in (0,0) in quanto viene il $lim_(rho -> 0) (rho^2(costheta-sintheta)root(3)(cos^2theta*sintheta))/rho$ che fa 0 come il valore della funz in (0,0), a questo punto per studiarmi la differenziabilità faccio le derivate parziale e verifico se sono o no continue, se si allora la funz è differenziabile, se invece almeno una delle duè non risulta continua non ho la differenziabilità della funz giusto..?
$(delf)/(delx)=((root(3)(x^2y)+2y(x-y)/(3root(3)(xy^2)))root()(x^2+y^2)-(x-y)root(3)(x^2y)(x/root()(x^2+y^2)))/(x^2+y^2)$ che dopo vari conti viene :$(delf)/(delx)=(2x^3y+5xy^3+x^2y^2-2y^4)/(3root(3)(xy^2)root()(x^2+y^2)(x^2+y^2))$, a questo punto passo di nuovo a coordinate polari e al limite per $rho->0$ e trovo $lim_(rho->0)(rho^4(2c^3s+5cs^3+c^2s^2-2s^4)/(3rho^4root(3)(cs^2))) $ dove con $c$ e $s$ ho indicato rispettivamente $costheta$ e $sintheta$! Questo limite non esiste perchè dipende da theta quindi ho concluso che la $(delf)/(delx)$ non è continua in (0,0) e quindi la funz non è differenziabile!!! E' ancora giusto il mio ragionamento e lo svolgimento dell'esercizio...?!?!?
A questo punto rislvolgendo l'esercizio mi viene, sostituendo le coordinate polari, continua in (0,0) in quanto viene il $lim_(rho -> 0) (rho^2(costheta-sintheta)root(3)(cos^2theta*sintheta))/rho$ che fa 0 come il valore della funz in (0,0), a questo punto per studiarmi la differenziabilità faccio le derivate parziale e verifico se sono o no continue, se si allora la funz è differenziabile, se invece almeno una delle duè non risulta continua non ho la differenziabilità della funz giusto..?
$(delf)/(delx)=((root(3)(x^2y)+2y(x-y)/(3root(3)(xy^2)))root()(x^2+y^2)-(x-y)root(3)(x^2y)(x/root()(x^2+y^2)))/(x^2+y^2)$ che dopo vari conti viene :$(delf)/(delx)=(2x^3y+5xy^3+x^2y^2-2y^4)/(3root(3)(xy^2)root()(x^2+y^2)(x^2+y^2))$, a questo punto passo di nuovo a coordinate polari e al limite per $rho->0$ e trovo $lim_(rho->0)(rho^4(2c^3s+5cs^3+c^2s^2-2s^4)/(3rho^4root(3)(cs^2))) $ dove con $c$ e $s$ ho indicato rispettivamente $costheta$ e $sintheta$! Questo limite non esiste perchè dipende da theta quindi ho concluso che la $(delf)/(delx)$ non è continua in (0,0) e quindi la funz non è differenziabile!!! E' ancora giusto il mio ragionamento e lo svolgimento dell'esercizio...?!?!?
"trefe.ra4":
A questo punto rislvolgendo l'esercizio mi viene, sostituendo le coordinate polari, continua in (0,0)
Yes.
a questo punto per studiarmi la differenziabilità faccio le derivate parziale e verifico se sono o no continue, se si allora la funz è differenziabile, se invece almeno una delle duè non risulta continua non ho la differenziabilità della funz giusto..?
Sbagliato. La continuità delle derivate parziali nel punto è una condizione sufficiente per la differenziabilità; la funzione potrebbe essere differenziabile nel punto anche se le derivate parziali non sono continue nel punto stesso.
Sbagliato. La continuità delle derivate parziali nel punto è una condizione sufficiente per la differenziabilità; la funzione potrebbe essere differenziabile nel punto anche se le derivate parziali non sono continue nel punto stesso.
E quindi come faccio a dire se è o no differenziabile in (0,0)
Che domande: usando la definizione!
ho capito ma la def mi dice k una funz è differenziabile se esiste un applicazione lineare tale che $lim_(x->x_0) (F(x)-(F(x_0)+L(x-x_0)))/(||x-x_0||) = 0.$ con $x in RR^n$, ma io come faccio a trovarmi questa L....!?!?!?
Ahhh altra domanda: ho trovato una proposizione k mi dice k se un a f è diff allora f è continua e se una f è diff allora la derivata direzionale nel punto interessato deve essere uguale al prod scal tra gradiente e il vettore direzione...!!! non potrei usare questa....se una di queste due implicazioni non vale allora la f non è diff..!?!?
Ahhh altra domanda: ho trovato una proposizione k mi dice k se un a f è diff allora f è continua e se una f è diff allora la derivata direzionale nel punto interessato deve essere uguale al prod scal tra gradiente e il vettore direzione...!!! non potrei usare questa....se una di queste due implicazioni non vale allora la f non è diff..!?!?
Adagio, adagio. Calma.
Per la differenziblità la cosa migliore è proprio la definizione. Per vedere se una funzione è differenziabile in un punto [tex](x_{0},y_{0})[/tex] occorre e basta vedere se il seguente limite è nullo:
[tex]\displaystyle
\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k)-f(x_{0},y_{0})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h - \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Come diventa tale limite nel tuo caso?
Per la differenziblità la cosa migliore è proprio la definizione. Per vedere se una funzione è differenziabile in un punto [tex](x_{0},y_{0})[/tex] occorre e basta vedere se il seguente limite è nullo:
[tex]\displaystyle
\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k)-f(x_{0},y_{0})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h - \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Come diventa tale limite nel tuo caso?
Mi sorge il sospetto che tu non abbia mai visto/fatto un esercizio sulla differenziabilità.
Comunque, puoi usare queste condizioni necessarie:
1) $f$ differenziabile in $x_0$ $=>$ $f$ continua in $x_0$;
2) $f$ differenziabile in $x_0$ $=>$ $f$ derivabile parzialmente in $x_0$; in tal caso, l'applicazione lineare $L$ che compare nella definizione è data da $L x = \nabla f(x_0) \cdot x.
Quindi, se $f$ non è continua in $x_0$ oppure se qualche derivata parziale in $x_0$ non esiste, $f$ non è differenziabile in $x_0$.
Se invece le condizioni sopra citate sono verificate, ti vai a studiare
$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - \nabla f(x_0) \cdot (x-x_0)}{||x - x_0||}.$
Per definizione, $f$ è differenziabile in $x_0$ se e solo se tale limite esiste ed è nullo.
In alcuni casi può essere utile anche quest'altra condizione necessaria:
3) $f$ differenziabile in $x_0$ $=>$ $f$ derivabile direzionalmente in $x_0$ lungo qualsiasi direzione, e l'applicazione $v\mapsto D_v f(x_0)$ è lineare.
Comunque, puoi usare queste condizioni necessarie:
1) $f$ differenziabile in $x_0$ $=>$ $f$ continua in $x_0$;
2) $f$ differenziabile in $x_0$ $=>$ $f$ derivabile parzialmente in $x_0$; in tal caso, l'applicazione lineare $L$ che compare nella definizione è data da $L x = \nabla f(x_0) \cdot x.
Quindi, se $f$ non è continua in $x_0$ oppure se qualche derivata parziale in $x_0$ non esiste, $f$ non è differenziabile in $x_0$.
Se invece le condizioni sopra citate sono verificate, ti vai a studiare
$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - \nabla f(x_0) \cdot (x-x_0)}{||x - x_0||}.$
Per definizione, $f$ è differenziabile in $x_0$ se e solo se tale limite esiste ed è nullo.
In alcuni casi può essere utile anche quest'altra condizione necessaria:
3) $f$ differenziabile in $x_0$ $=>$ $f$ derivabile direzionalmente in $x_0$ lungo qualsiasi direzione, e l'applicazione $v\mapsto D_v f(x_0)$ è lineare.
nel nostro caso, sostituendo all'interno del limite:
$lim_((h,k) -> (0,0)) (((h-k)root(3)(h^2k))/root()(h^2+k^2)-0-0-0)/root()(h^2+k^2)$ perchè la funz in (0,0) è definita = a 0 quindi ank le sue derivate in (0,0) rimane 0...
Questo limite non esiste usando le coordinate polari perchè viene in dipendenza di theta
$lim_((h,k) -> (0,0)) (((h-k)root(3)(h^2k))/root()(h^2+k^2)-0-0-0)/root()(h^2+k^2)$ perchè la funz in (0,0) è definita = a 0 quindi ank le sue derivate in (0,0) rimane 0...
Questo limite non esiste usando le coordinate polari perchè viene in dipendenza di theta
"trefe.ra4":
perchè la funz in (0,0) è definita = a 0 quindi ank le sue derivate in (0,0) rimane 0...
Mmm, non ho capito. Come hai calcolato le derivate parziali? Guarda che non è che se una funzione è nulla in un punto allora anche le derivate parziali lo sono (già solo in una variabile: $f(x)=x$ è nulla in $x_0=0$ ma $f'(x)=1$). Che cosa hai fatto?
Infine, ti chiederei gentilmente di scrivere in italiano corretto e di non usare abbreviazioni stile sms.
Grazie.
ok scusa per la scrittura....
la nostra funzione di partenza era $ f(x,y) ={ ( ((x-y)*root(3)((x^2)y))/root()(x^2+y^2) rarr (x,y)=(0,0) ),( 0 rarr (x,y)=(0,0) ):} $ quindi quando derivo in (0,0) la derivata parziale non continua a valere 0..!?
la nostra funzione di partenza era $ f(x,y) ={ ( ((x-y)*root(3)((x^2)y))/root()(x^2+y^2) rarr (x,y)=(0,0) ),( 0 rarr (x,y)=(0,0) ):} $ quindi quando derivo in (0,0) la derivata parziale non continua a valere 0..!?
Eh no 
Non puoi fare questo ragionamento. Devi calcolare il limite del rapporto incrementale per vedere se esiste e quanto vale la derivata in 0: ti ricordi come facevi con funzioni di una variabile? Quando avevi $|x|$ e volevi vedere se era derivabile nell'origine calcolavi il rapporto incrementale dx e sx e poi andavi al limite per $x to 0^+$ e $x to 0^-$.
Adesso tu devi fare $lim_(h to 0) (f(h,0)-f(0,0))/h=...$
Questa è la derivata parziale rispetto a $x$ calcolata in $(0,0)$.
Analogamente per l'altra variabile.
Hai capito adesso?
P.S. Ovviamente , i risultati mi sembrano coincidere con quanto avevi scritto sopra: ma mi premeva sottolineare che non puoi derivare direttamente nel punto di raccordo, devi passare dalla definizione.
Non puoi fare questo ragionamento. Devi calcolare il limite del rapporto incrementale per vedere se esiste e quanto vale la derivata in 0: ti ricordi come facevi con funzioni di una variabile? Quando avevi $|x|$ e volevi vedere se era derivabile nell'origine calcolavi il rapporto incrementale dx e sx e poi andavi al limite per $x to 0^+$ e $x to 0^-$.
Adesso tu devi fare $lim_(h to 0) (f(h,0)-f(0,0))/h=...$
Questa è la derivata parziale rispetto a $x$ calcolata in $(0,0)$.
Analogamente per l'altra variabile.
Hai capito adesso?
P.S. Ovviamente
, i risultati mi sembrano coincidere con quanto avevi scritto sopra: ma mi premeva sottolineare che non puoi derivare direttamente nel punto di raccordo, devi passare dalla definizione.
OHIOHI....che somaro....
hai perfettamente ragione...
Comunque fortunatamente ho notato k viene lo stesso 0, quindi il ragionamento fatto prima con le coordinate polari va bene lo stesso giusto..!?!? E quindi quel limite non esiste, dunque posso concludere che la funzione non è differenziabile..!?!?
hai perfettamente ragione...
Comunque fortunatamente ho notato k viene lo stesso 0, quindi il ragionamento fatto prima con le coordinate polari va bene lo stesso giusto..!?!? E quindi quel limite non esiste, dunque posso concludere che la funzione non è differenziabile..!?!?
"trefe.ra4":
OHIOHI....che somaro....
hai perfettamente ragione...
Comunque fortunatamente ho notato k viene lo stesso 0, quindi il ragionamento fatto prima con le coordinate polari va bene lo stesso giusto..!?!? E quindi quel limite non esiste, dunque posso concludere che la funzione non è differenziabile..!?!?
Sì, come ti dicevo sopra alla fine viene lo stesso 0.
Ho guardato alla veloce quel limite e pare anche a me che non esista, proprio perchè se passi in coordinate polari e mandi $rho to 0^+$ trovi un'espressione che dipende da $vartheta$ (per uno strano scherzo del destino
il limite che devi calcolare ora è quello che avevi proposto nel primo post, sbagliando a trascrivere il testo).Più chiaro ora?
E' vero non lo avevo notato...!!!
Comunque si ora mi è un po' più chiaro l'argomento Grazie mille
...anche se dovro fare tnt e tnt altri esercizi mi sa.... 
una sola domanda : se non è una spiegazione di paginate e paginate...da che cosa viene fuori il fatto che la differenziabilità si verifica con il fatto quel limite debba fare 0...!?!? e perchè hai messo al posto della famosa applicazione lineare L questo prodotto scalare $< grad(x_0,y_0), (h,k)>$?
Comunque si ora mi è un po' più chiaro l'argomento Grazie mille
...anche se dovro fare tnt e tnt altri esercizi mi sa.... una sola domanda : se non è una spiegazione di paginate e paginate...da che cosa viene fuori il fatto che la differenziabilità si verifica con il fatto quel limite debba fare 0...!?!? e perchè hai messo al posto della famosa applicazione lineare L questo prodotto scalare $< grad(x_0,y_0), (h,k)>$?
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