Dubbio sulla definizione di differenziale di f [risolto]
Buondì! 
Nei suoi appunti, il mio professore utilizza, fra le altre, questa definizione di differenziabilità:
Sia $A sub RR^n$ un insieme aperto, $x^0 in A$, $f:A rightarrow RR$.
La funzione $f$ di dice differenziabile in $x^0$ se esiste un'applicazione lineare $L:RR^n rightarrow RR$ tale per cui
$lim_{x rightarrow x^0}{f(x)-f(x^0)-L(x-x^0)}/{||x-x^0||}=0$
La mia domanda è: $L(x-x^0)$ è il differenziale della funzione $f$ in $x^0$?
Grazie!
Nei suoi appunti, il mio professore utilizza, fra le altre, questa definizione di differenziabilità:
Sia $A sub RR^n$ un insieme aperto, $x^0 in A$, $f:A rightarrow RR$.
La funzione $f$ di dice differenziabile in $x^0$ se esiste un'applicazione lineare $L:RR^n rightarrow RR$ tale per cui
$lim_{x rightarrow x^0}{f(x)-f(x^0)-L(x-x^0)}/{||x-x^0||}=0$
La mia domanda è: $L(x-x^0)$ è il differenziale della funzione $f$ in $x^0$?
Grazie!
Risposte
Attendi pareri più competenti : io non faccio matematica .
Il differenziale ha un profondo significato fisico e geometrico
in pratica rappresenta un'approssimazione, non di una funzione, ma della variazione di una funzione.
Per definizione di differenziale, hai:
[tex]$f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)=\text{o}(|x-x_0|)$[/tex] per [tex]$x\to x_0$[/tex],
ove [tex]$L(x-x_0)$[/tex] è il differenziale della tua funzione in [tex]$x_0$[/tex], quindi è evidente che [tex]$f(x)- f(x_0)\approx L(x-x_0)$[/tex] intorno a [tex]$x_0$[/tex].
Lo stesso vale per il differenziale secondo: per definizione è:
[tex]$f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)-H(x-x_0,x-x_0) =\text{o}(|x-x_0|^2)$[/tex] per [tex]$x\to x_0$[/tex],
ove [tex]$H(\cdot ,\cdot)$[/tex] è il differenziale secondo in [tex]$x_0$[/tex], ergo [tex]$f(x)-f(x_0)\approx L(x-x_0)+H(x-x_0,x-x_0)$[/tex] intorno ad [tex]$x_0$[/tex].
Vedi se ti puo essere d'aiuto questo http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/index_mathml.html
Il differenziale ha un profondo significato fisico e geometrico
in pratica rappresenta un'approssimazione, non di una funzione, ma della variazione di una funzione.
Per definizione di differenziale, hai:
[tex]$f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)=\text{o}(|x-x_0|)$[/tex] per [tex]$x\to x_0$[/tex],
ove [tex]$L(x-x_0)$[/tex] è il differenziale della tua funzione in [tex]$x_0$[/tex], quindi è evidente che [tex]$f(x)- f(x_0)\approx L(x-x_0)$[/tex] intorno a [tex]$x_0$[/tex].
Lo stesso vale per il differenziale secondo: per definizione è:
[tex]$f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)-H(x-x_0,x-x_0) =\text{o}(|x-x_0|^2)$[/tex] per [tex]$x\to x_0$[/tex],
ove [tex]$H(\cdot ,\cdot)$[/tex] è il differenziale secondo in [tex]$x_0$[/tex], ergo [tex]$f(x)-f(x_0)\approx L(x-x_0)+H(x-x_0,x-x_0)$[/tex] intorno ad [tex]$x_0$[/tex].
Vedi se ti puo essere d'aiuto questo http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/index_mathml.html
Di norma, si chiama differenziale proprio l'applicazione lineare indicata, in questo caso, con \(L\).
Grazie mille a tutti!
Soprattutto a Stellinelm per i suoi approfondimenti. Quelli sono sempre apprezzati
Soprattutto a Stellinelm per i suoi approfondimenti. Quelli sono sempre apprezzati
di nulla , è sempre bello poter essere d'aiuto 
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