Dubbio sulla convergenza uniforme in un intervallo
Salve, devo verificare che
$f(x)_n=n(x-1)x^(-n)$ non converge uniformemente in $[1,2]$.
Precedentemente l'esercizio chiedeva di verificare che il limite puntuale è $0$ e che non converge uniformemente in $[1,+ infty)$ infatti
se studio $d/dx(n(x-1)x^(-n))$, il massimo lo trovo per $(1/(1-1/n))$
$f(1/(1-1/n))=e^-1$ per $n->+infty$ quindi non converge uniformemente e fino a qui mi trovo.
Ora non capisco come dimostrare che non converge uniformemente in $[1,2]$, io ho calcolato che
$f_n(0)=0$ ed $f_n(2)=n/2^(n)$,
non so cosa concludere perchè per n che va all'infinito il limite per $x=2$ è 0,devo confrontare questi 2 valori con il masimo trovato prima, cioè $e^-1$ ?
Poi l'esercizio chiede di dimostrare che converge uniformemente in $[2,+infty)$ e dice: per ogni $n>=2$ risulta $f_n(2)=n2^(-n)->0$
Il problema è cosa cambia tra i vari intervalli $[1, +infty), [1,2], [2,+infty)$ e perchè converge uniformemente solo in quest'ultimo? La presenza del 2, che mi dà $f_n(2)=n2^(-n)->0$ c'è anche in $[1,2]$
$f(x)_n=n(x-1)x^(-n)$ non converge uniformemente in $[1,2]$.
Precedentemente l'esercizio chiedeva di verificare che il limite puntuale è $0$ e che non converge uniformemente in $[1,+ infty)$ infatti
se studio $d/dx(n(x-1)x^(-n))$, il massimo lo trovo per $(1/(1-1/n))$
$f(1/(1-1/n))=e^-1$ per $n->+infty$ quindi non converge uniformemente e fino a qui mi trovo.
Ora non capisco come dimostrare che non converge uniformemente in $[1,2]$, io ho calcolato che
$f_n(0)=0$ ed $f_n(2)=n/2^(n)$,
non so cosa concludere perchè per n che va all'infinito il limite per $x=2$ è 0,devo confrontare questi 2 valori con il masimo trovato prima, cioè $e^-1$ ?
Poi l'esercizio chiede di dimostrare che converge uniformemente in $[2,+infty)$ e dice: per ogni $n>=2$ risulta $f_n(2)=n2^(-n)->0$
Il problema è cosa cambia tra i vari intervalli $[1, +infty), [1,2], [2,+infty)$ e perchè converge uniformemente solo in quest'ultimo? La presenza del 2, che mi dà $f_n(2)=n2^(-n)->0$ c'è anche in $[1,2]$
Risposte
potrebbe essere per la seguente ragione: in $[1,2]$ per non sforare dall'intervallo deve necessariamente essere $n=2 rArr a:= 1/(1-1/n)=2$ e sostituendo queste due condizione nel sup questa va a $1/2 != 0$
in $[2,+oo)$ il massimo è sempre in 2 però qui n può essere qualunque e dunque $n2^(-n) ->0$
in $[2,+oo)$ il massimo è sempre in 2 però qui n può essere qualunque e dunque $n2^(-n) ->0$
"Valchiria":
... cosa cambia tra i vari intervalli ...
Il problema non è $[x=2]$, il problema è l'intorno destro di $[x=1]$. Infatti:
Limite per $n rarr +oo$ dell'ascissa del massimo
$lim_(n->+oo)n/(n-1)=1^+$
Limite per $n rarr +oo$ dell'ordinata del massimo
$lim_(n->+oo)f_n(n/(n-1))=1/e$
Limite per $n rarr +oo$ dell'ordinata di $[x=1+\delta] ^^ [AA \delta in RR^+]$
$lim_(n->+oo)f_n(1+\delta)=lim_(n->+oo)n\delta(1+\delta)^(-n)=0$
In definitiva, la convergenza è uniforme in un qualsiasi intervallo del tipo $[x gt= 1+\delta]$.
Scusate ma non riesco ancora a capire, in generale devo prima trovare il sup, e poi verificare la convergenza uniforme per $n->infty$; ora per dimostrare la non convergenza in $[1, infty)$ trovo il massimo e verifico che il limite non tende a 0. Il libro giustifica il fatto che non c'è convergenza in $[1, infty)$ e in $[1,2]$ dicendo che per ogni $n>=2$, $f(1/(1-1/n))=e^-1$ se n va all'infinito
Cos'è ciò che rende la convergenza non uniforme in $[1,2]$ rispetto a $[2,infty)$ se il sup è lo stesso?
perchè in $[1,2]$ ho necessariamente $n=2$, $f(0)=0, f(2)=f(x_max)=n2^-n$ ma qui ho detto che $n=2$, mentre in $[2,infty)$ posso andare oltre $n=2$, il massimo non dovrebbe essere sempre $(1-1/n)$?
Il libro invece dice che anche qui il massimo c'è per $n>=2$,e dato che $f(2)=n2^-n=0 (n->infty)$ converge, ma non era $(1/(1-1/n))$ il massimo?
Perchè dice anche qui per $n>=2$ e non per ogni n, dato che se anche n fosse 1,e quindi x= infinito, infinito in in$[2,infty)$ c'è?
cioè, perchè se sono in $[1, infty)$ e in $[1,2]$ il massimo è $(1-1/n)$ e in $[2, infty]$ è $x=2$?
Ma come dimostro la convergenza proprio con il sup in ogni intervallo?
Cos'è ciò che rende la convergenza non uniforme in $[1,2]$ rispetto a $[2,infty)$ se il sup è lo stesso?
perchè in $[1,2]$ ho necessariamente $n=2$, $f(0)=0, f(2)=f(x_max)=n2^-n$ ma qui ho detto che $n=2$, mentre in $[2,infty)$ posso andare oltre $n=2$, il massimo non dovrebbe essere sempre $(1-1/n)$?
"cooper":
in $ [2,+oo) $ il massimo è sempre in 2 però qui n può essere qualunque e dunque $ n2^(-n) ->0 $
Il libro invece dice che anche qui il massimo c'è per $n>=2$,e dato che $f(2)=n2^-n=0 (n->infty)$ converge, ma non era $(1/(1-1/n))$ il massimo?
Perchè dice anche qui per $n>=2$ e non per ogni n, dato che se anche n fosse 1,e quindi x= infinito, infinito in in$[2,infty)$ c'è?
cioè, perchè se sono in $[1, infty)$ e in $[1,2]$ il massimo è $(1-1/n)$ e in $[2, infty]$ è $x=2$?
"anonymous_0b37e9":
Il problema non è $ [x=2] $, il problema è l'intorno destro di $ [x=1] $.
Ma come dimostro la convergenza proprio con il sup in ogni intervallo?
Secondo la definizione di convergenza uniforme per:
è necessario dimostrare che:
Poichè il massimo di:
per $x in [1,+oo[$ ha coordinate:
a patto che:
il massimo di:
per $x in [1+\delta,+oo[$ ha coordinate:
Poichè:
si ha:
In definitiva, ponendo:
la convergenza uniforme per $x in [1+\delta,+oo[$ è assicurata. Insomma, il caso $x in [2,+oo[$ è solo un caso particolare. Inoltre, per quanto scritto anche in precedenza, il problema è l'intorno destro di $[x=1]$, in quanto:
$AA \delta in RR^+ : x in [1+\delta,+oo[$
è necessario dimostrare che:
$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN : AA n gt n_\epsilon ^^ AA x in [1+\delta,+oo[ rarr n(x-1)x^(-n) lt \epsilon$
Poichè il massimo di:
$n(x-1)x^(-n)$
per $x in [1,+oo[$ ha coordinate:
$[x=n/(n-1)] ^^ [y=((n-1)/n)^(n-1)]$
a patto che:
$[n/(n-1) lt 1+\delta] rarr [n gt (1+\delta)/\delta]$
il massimo di:
$n(x-1)x^(-n)$
per $x in [1+\delta,+oo[$ ha coordinate:
$[x=1+\delta] ^^ [y=n\delta(1+\delta)^(-n)]$
Poichè:
$lim_(n->+oo)n\delta(1+\delta)^(-n)=0$
si ha:
$AA \epsilon in RR^+ EE barn in NN : AA n gt barn rarr [n\delta(1+\delta)^(-n) lt \epsilon] rarr [n(x-1)x^(-n) lt \epsilon]$
In definitiva, ponendo:
$n_\epsilon=max{(1+\delta)/\delta,barn}$
la convergenza uniforme per $x in [1+\delta,+oo[$ è assicurata. Insomma, il caso $x in [2,+oo[$ è solo un caso particolare. Inoltre, per quanto scritto anche in precedenza, il problema è l'intorno destro di $[x=1]$, in quanto:
$[lim_(n->+oo)n/(n-1)=1^+] ^^ [lim_(n->+oo)((n-1)/n)^(n-1)=1/e]$
Ok grazie ad entrambi
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