Dubbio sulla convergenza uniforme

[maurer]

Ciao a tutti! Lo so che dovrei essere un po' più paziente ed aspettare l'anno prossimo... ma certi argomenti mi interessano troppo! Ho letto qualcosa sulle serie di funzioni, però purtroppo non ho trovato neanche una dimostrazione, ma solamente degli enunciati che per me erano decisamente criptici... Mi potreste fare un esempio di una convergenza non uniforme e di una uniforme?

[Luca.Lussardi]

Se sei agli inizi è più facile fare un esempio di successione di funzioni non convergente uniformemente.

Sia $f_n : [0,1] \to \RR$ data da $f_n(x)=x^n$. Allora $f_n$ tende puntualmente alla funzione $g(x)=0$ su $[0,1)$ e $g(1)=1$, che non è continua quindi $f_n$ non converge uniformemente a $g$ su tutto $[0,1]$. Invece $f_n$ converge uniformemente a $0$ su $[0,\delta]$ per $\delta in (0,1)$ fissato.