Dubbio sulla convergenza di una serie
Stavo facendo un esercizio: $sum1/(n*lnn)$ qunado ho pensato:
$1/n$ diverge, anche se tende a $0$ quando $n\to\infty$.ù, pero' $1/n^2$, è convergente. Quindi mi sono ricordato che la prof aveva detto che una serie per convergere, deve andare a zero ma con una certa velocita'.
Quindi, $1/n^2$ va a $0$ molto piu' velocemente di $1/n$. l'uno converge e l'altro no!
Come faccio io a sapere se una certa velocita' è sufficiente perchè la serie sia convergente??
$1/n$ diverge, anche se tende a $0$ quando $n\to\infty$.ù, pero' $1/n^2$, è convergente. Quindi mi sono ricordato che la prof aveva detto che una serie per convergere, deve andare a zero ma con una certa velocita'.
Quindi, $1/n^2$ va a $0$ molto piu' velocemente di $1/n$. l'uno converge e l'altro no!
Come faccio io a sapere se una certa velocita' è sufficiente perchè la serie sia convergente??
Risposte
Applica il criterio di condensazione di Cauchy ....
Non l'ho ancora visto! e non credo lo vedremo mai! Provero' a dare un occhiata per conto mio domani, al massimo torno a chiedere a voi! 
Ok, allora...
visto il criterio di condensazone di Cauchy ho pensato:
Affinchè $sum(1/n)$ converga, la somma di $sum 2^n(1/(2^n))$ deve avere somma convergente. (e questo è il teorema)
La mia domanda è: quando dice "somma convergente" intende somma finita? ossia: $sum 2^n(1/(2^n)) =sum 1$ che come successione converge a $1$ ma la somma è infinita!? no?
se questo è giusto, posso fare il seguente ragionamento:
$sum 1/(n)^2$ converge se $sum 2^n(1/2^(2n))$ ha somma finita (somma convergente): $sum 2^n(1/2^(2n)) = sum 1/2^n$ che va a $0$ con $n\to\infty$. No?
visto il criterio di condensazone di Cauchy ho pensato:
Affinchè $sum(1/n)$ converga, la somma di $sum 2^n(1/(2^n))$ deve avere somma convergente. (e questo è il teorema)
La mia domanda è: quando dice "somma convergente" intende somma finita? ossia: $sum 2^n(1/(2^n)) =sum 1$ che come successione converge a $1$ ma la somma è infinita!? no?
se questo è giusto, posso fare il seguente ragionamento:
$sum 1/(n)^2$ converge se $sum 2^n(1/2^(2n))$ ha somma finita (somma convergente): $sum 2^n(1/2^(2n)) = sum 1/2^n$ che va a $0$ con $n\to\infty$. No?
Nella situazione in cui sei puoi usare due criteri: quello di condensazione e quello integrale.
Il primo afferma quanto segue:
mentre il secondo:
Ovviamente, le ipotesi di entrambi i criteri possono essere "rilassate" richiedendo che esse vengano soddisfatte solo definitivamente dalla successione degli addendi, cioé a partire da un certo indice \(\nu\) in poi.
Nel tuo caso, la serie soddisfa definitivamente le ipotesi di entrambi i criteri (verifica) ed entrambi i criteri ti dicono che...
Il primo afferma quanto segue:
Sia \(\sum a_n\) una serie reale a termini non negativi.
Se la successione degli addendi \((a_n)\) è decrescente, allora valgono le stime:
\[
\tag{C} \sum_{n=1}^{2^N} a_n \leq \sum_{n=1}^N 2^n a_{2^n} \leq 2\ \sum_{n=1}^{2^N-1} a_n\ + a_{2^N}\; ;
\]
quindi \(\sum a_n\) converge [risp. diverge positivamente] se e solo se la serie condensata \(\sum 2^n a_{2^n}\) converge [risp. diverge positivamente].
mentre il secondo:
Sia \(\sum a_n\) una serie reale a termini positivi.
Se esiste una funzione \(f\in C([0,\infty[)\) tale che:
[list=1][*:8d4iymu5] \(f\) è decrescente e non negativa;
[/*:m:8d4iymu5]
[*:8d4iymu5] si ha \(a_n=f(n)\) per ogni indice \(n\),[/*:m:8d4iymu5][/list:o:8d4iymu5]
allora valgono le stime:
\[
\tag{I}
\int_0^N f(x)\ \text{d} x\leq \sum_{n=1}^N a_n\leq \int_1^{N+1} f(x)\ \text{d} x\; ;
\]
quindi la serie \(\sum a_n\) converge [risp. diverge positivamente] se e solo se l'integrale improprio \(\int_1^\infty f(x)\text{d} x\) converge [risp. diverge positivamente].
Ovviamente, le ipotesi di entrambi i criteri possono essere "rilassate" richiedendo che esse vengano soddisfatte solo definitivamente dalla successione degli addendi, cioé a partire da un certo indice \(\nu\) in poi.
Nel tuo caso, la serie soddisfa definitivamente le ipotesi di entrambi i criteri (verifica) ed entrambi i criteri ti dicono che...
ma il ragionamento che ho scritto io è sbagliato?
Quale ragionamento?
"BoG":
Ok, allora...
visto il criterio di condensazone di Cauchy ho pensato:
Affinchè $sum(1/n)$ converga, la somma di $sum 2^n(1/(2^n))$ deve avere somma convergente. (e questo è il teorema)
La mia domanda è: quando dice "somma convergente" intende somma finita? ossia: $sum 2^n(1/(2^n)) =sum 1$ che come successione converge a $1$ ma la somma è infinita!? no?
se questo è giusto, posso fare il seguente ragionamento:
$sum 1/(n)^2$ converge se $sum 2^n(1/2^(2n))$ ha somma finita (somma convergente): $sum 2^n(1/2^(2n)) = sum 1/2^n$ che va a $0$ con $n\to\infty$. No?
E' talmente sciocc da non essere una ragionamentino ?
Quelli vanno bene per dimostrare la convergenza di \(\sum 1/n^2\) e la divergenza di \(\sum 1/n\).
Ma tornando alla tua serie iniziale, come risolvi?
Ma tornando alla tua serie iniziale, come risolvi?
$sum 1/(nlnn)$
Usando il criterio di Cauchy:
i termini della mia serie sono non negativi e la successione dei miei termini è decrescente perchè $lim_(n\to\infty) 1/(nlnn) \to 0$
Quindi secondo il criterio di Cauchy, la mia serie convergera' se converge anche la "sua" serie condensata data da:
$sum_(n=1)^N(2^n*1/(2^n*ln(2^n)))$ e il suo termine generale tende a $0$ per $x\to\infty$ .. Quindi... converge... no?
Usando il criterio di Cauchy:
i termini della mia serie sono non negativi e la successione dei miei termini è decrescente perchè $lim_(n\to\infty) 1/(nlnn) \to 0$
Quindi secondo il criterio di Cauchy, la mia serie convergera' se converge anche la "sua" serie condensata data da:
$sum_(n=1)^N(2^n*1/(2^n*ln(2^n)))$ e il suo termine generale tende a $0$ per $x\to\infty$ .. Quindi... converge... no?
"BoG":
$sum 1/(nlnn)$
Usando il criterio di Cauchy:
i termini della mia serie sono non negativi e la successione dei miei termini è decrescente perchè $lim_(n\to\infty) 1/(nlnn) \to 0$
Falso.
Esistono successioni infinitesime che non sono definitivamente decrescenti.
Ad esempio, prendi:
\[
a_n= \begin{cases} \frac{1}{k} &\text{, se } n=2^k \text{ per un } k\in \mathbb{N}\\
0 &\text{, altrimenti}.
\end{cases}
\]
"BoG":
Quindi secondo il criterio di Cauchy, la mia serie convergera' se converge anche la "sua" serie condensata data da:
$sum_(n=1)^N(2^n*1/(2^n*ln(2^n)))$ e il suo termine generale tende a $0$ per $x\to\infty$ .. Quindi... converge... no?
Falso.
Esistono serie che hanno la successione degli addendi infinitesima, ma che non convergono (e.g., la serie armonica).
Cerca di porre rimedio a questi due (gravi) errori.
Infatti la cosa mi puzzava, non so perchè!
Invece se provo a fare così:
$sum 1/(nlnn)<=sum(2^n/(2^nln(2^n))) = sum 1/(nln2) = 1/ln2 sum1/n$ ora se dico che $1/ln2>0$ e che la mia sommatoria è una serie armonica e applicando il criterio di cauchy ad essa posso dimostrare che diverge allora anche $1/ln2 sum1/n$ diverge, è lecito? ha senso ???
Pero' per poterlo applicare questo criterio devo controllare che la mia successione sia decrescente: (intendo ancora all'inizio, il primo passaggio, non l'ho fatto prima di applicare il criterio di C.)
Posso farlo così: affinchè sia decrescente, una successione ha: $a_(n+1)<=a_n$ e nel mio caso, posto $a_n = 1/(nlnn)$ applico la disuguaglianza ed ottengo:
$1/(nlnn)>=1/((n+1)ln(n+1))$
$((n+1)ln(n+1))/(nlnn)>=1 <=>(n+1)*ln(n+1)>=(n)*(lnn)$ ma siccome $ln$ è una funzione crescente e per $n\to\infty => n<(n+1)$ posso dire che la disuguaglianza è vera!
anche se ora che ci penso, avrei potuto assegnare: $f(x)= 1/(xlnx) => f'(x)=d/dx(1/x * 1/lnx) = ((-1/x^2)*1/lnx)+(1/x*(-1/(xln^2x))) = -[(1/x^2*1/lnx)+(1/x*1/(xln^2x))]= -[(1/(x^2 lnx))+(1/(x^2ln^2x))] = - (lnx+1)/(x^2ln^2x)$ e dato che al denominatore ho solo termini al quadrato e quindi positivi e sopra una funzione definitivamente positiva piu' una somma positiva sempre e ho il segno meno davanti ho anche che $f$ è decrescente.
Con questo credo e spero di essermi sistemato la cecrescenza
Per quello che riguarda che gli addendi siano maggiori di $0$, osservo che $2^n$ è un esponenziale che ha base positiva e quinid tutti i suoi termini sono maggiori di $0$. Il $ln$ è anche esso $>=0, AAx>=e$ e quinidi definitivamente positivo. Quindi i termini sono definitivamente positivi.
Così ha piu' senso?
Invece se provo a fare così:
$sum 1/(nlnn)<=sum(2^n/(2^nln(2^n))) = sum 1/(nln2) = 1/ln2 sum1/n$ ora se dico che $1/ln2>0$ e che la mia sommatoria è una serie armonica e applicando il criterio di cauchy ad essa posso dimostrare che diverge allora anche $1/ln2 sum1/n$ diverge, è lecito? ha senso ???
Pero' per poterlo applicare questo criterio devo controllare che la mia successione sia decrescente: (intendo ancora all'inizio, il primo passaggio, non l'ho fatto prima di applicare il criterio di C.)
Posso farlo così: affinchè sia decrescente, una successione ha: $a_(n+1)<=a_n$ e nel mio caso, posto $a_n = 1/(nlnn)$ applico la disuguaglianza ed ottengo:
$1/(nlnn)>=1/((n+1)ln(n+1))$
$((n+1)ln(n+1))/(nlnn)>=1 <=>(n+1)*ln(n+1)>=(n)*(lnn)$ ma siccome $ln$ è una funzione crescente e per $n\to\infty => n<(n+1)$ posso dire che la disuguaglianza è vera!
anche se ora che ci penso, avrei potuto assegnare: $f(x)= 1/(xlnx) => f'(x)=d/dx(1/x * 1/lnx) = ((-1/x^2)*1/lnx)+(1/x*(-1/(xln^2x))) = -[(1/x^2*1/lnx)+(1/x*1/(xln^2x))]= -[(1/(x^2 lnx))+(1/(x^2ln^2x))] = - (lnx+1)/(x^2ln^2x)$ e dato che al denominatore ho solo termini al quadrato e quindi positivi e sopra una funzione definitivamente positiva piu' una somma positiva sempre e ho il segno meno davanti ho anche che $f$ è decrescente.
Con questo credo e spero di essermi sistemato la cecrescenza
Per quello che riguarda che gli addendi siano maggiori di $0$, osservo che $2^n$ è un esponenziale che ha base positiva e quinid tutti i suoi termini sono maggiori di $0$. Il $ln$ è anche esso $>=0, AAx>=e$ e quinidi definitivamente positivo. Quindi i termini sono definitivamente positivi.
Così ha piu' senso?
"BoG":
$sum 1/(nlnn)<=sum(2^n/(2^nln(2^n))) = sum 1/(nln2) = 1/ln2 sum1/n$ ora se dico che $1/ln2>0$ e che la mia sommatoria è una serie armonica e applicando il criterio di cauchy ad essa posso dimostrare che diverge allora anche $1/ln2 sum1/n$ diverge, è lecito? ha senso ???
Umph... Va detto meglio.
Dato che la serie "condensata" è uguale a \(\frac{1}{\ln 2} \sum \frac{1}{n}\) e che tale serie diverge (poiché multipla della serie armonica), allora la serie assegnata \(\sum \frac{1}{n\ln n}\) pure diverge per il criterio di Cauchy.
"BoG":
Pero' per poterlo applicare questo criterio devo controllare che la mia successione sia decrescente: (intendo ancora all'inizio, il primo passaggio, non l'ho fatto prima di applicare il criterio di C.)
Posso farlo così: affinchè sia decrescente, una successione ha: $a_(n+1)<=a_n$ e nel mio caso, posto $a_n = 1/(nlnn)$ applico la disuguaglianza ed ottengo:
$1/(nlnn)>=1/((n+1)ln(n+1))$
$((n+1)ln(n+1))/(nlnn)>=1 <=>(n+1)*ln(n+1)>=(n)*(lnn)$ ma siccome $ln$ è una funzione crescente e per $n\to\infty => n<(n+1)$ posso dire che la disuguaglianza è vera!
anche se ora che ci penso, avrei potuto assegnare: $f(x)= 1/(xlnx) => f'(x)=d/dx(1/x * 1/lnx) = ((-1/x^2)*1/lnx)+(1/x*(-1/(xln^2x))) = -[(1/x^2*1/lnx)+(1/x*1/(xln^2x))]= -[(1/(x^2 lnx))+(1/(x^2ln^2x))] = - (lnx+1)/(x^2ln^2x)$ e dato che al denominatore ho solo termini al quadrato e quindi positivi e sopra una funzione definitivamente positiva piu' una somma positiva sempre e ho il segno meno davanti ho anche che $f$ è decrescente.
Con questo credo e spero di essermi sistemato la cecrescenza
Per quello che riguarda che gli addendi siano maggiori di $0$, osservo che $2^n$ è un esponenziale che ha base positiva e quinid tutti i suoi termini sono maggiori di $0$. Il $ln$ è anche esso $>=0, AAx>=e$ e quinidi definitivamente positivo. Quindi i termini sono definitivamente positivi.
Che gli addendi della serie \(\sum \frac{1}{n\ln n}\) siano positivi (anche senza "definitivamente") è evidente, perché \(n\) è da intendersi \(\geq 2\), perciò \(\ln n\geq \ln 2> 0\) e dunque \(\frac{1}{n\ln n}>0\).
D'altra parte, per ogni \(n\geq 2\) hai:
\[
\left. \begin{split} 0
e gli addendi sono decrescenti (strettamente).
Tanto per esercizio, prova ad usare il criterio di condensazione per studiare la serie:
\[
\sum \frac{1}{n\ \ln n\ \ln^2 (\ln n)}\; .
\]
Inoltre, prova pure ad usare il criterio integrale (sempre che tu sappia già dimostrare la convergenza degli integrali impropri) su entrambe le serie.
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