Dubbio sulla convergenza di una serie

[Tommy85]

Che rapporti ci possono essere tra convergenza e assoluta convergenza di una serie numerica?

[Pierlu11]

Se una serie converge assolutamente allora converge anche semplicemente.
Il viceversa non è vero in generale... considera, ad esempio, $ sum_{n=1}^infty((-1)^n)/n $ , tale serie converge semplicemente per Leibniz ma non assolutamente ( $ sum_{n=1}^infty|((-1)^n)/n|=sum_{n=1}^infty(1)/n $ che diverge)

[Tommy85]

"Pierlu11":Se una serie converge assolutamente allora converge anche semplicemente.
Il viceversa non è vero in generale... considera, ad esempio, $ sum_{n=1}^infty((-1)^n)/n $ , tale serie converge semplicemente per Leibniz ma non assolutamente ( $ sum_{n=1}^infty|((-1)^n)/n|=sum_{n=1}^infty(1)/n $ che diverge)

Ti ringrazio...ma xke chiede anche di fornire la dimostrazione dei risultati più importanti? Cosa dovrei dimostrare?

[Pierlu11]

Che intendi per "risultati più importanti"?

Se cerchi la dimostrazione del fatto che convergenza assoluta $ rArr $ convergenza semplice, è la seguente:
Per la generalizzazione della disuguaglianza triangolare $ |sum_{n=p}^(p+q)a_n|=|a_p+a_(p+1)+...+a_(p+q)|<=|a_p|+|a_(p+1)|+...+|a_(p+q)|=sum_{n=p}^(p+q)|a_n| $ ; per ipotesi $ sum_{n=0}^infty|a_n| $ converge allora per Cauchy $ AA epsilon>0EEp_0:AAp>=p_0AAq>=0 $ si ha $ |sum_{n=p}^(p+q)(| a_n|)|=sum_{n=p}^(p+q)|a_n| Unendo le due disuguaglianze otteniamo $ |sum_{n=p}^(p+q)a_n|

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